Question

Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A(2;3;1); B(4;1;-2); C(6;3;7); D(-5;-4;8). Вычислите её объём и высоту опущенную на грань ABC.

Answer 1

Объём пирамиды равен (1/6) смешанного произведения векторов (АВ х АС) х АД.

Находим координаты векторов.

АВ = (2; -2; -3), АС = (4; 0; 6), АД = (-7; -7; 10).

Произведение векторов a = АВ = (2; -2; -3), b = АС = (4; 0; 6) равно     a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}.

Подставив координаты векторов, получаем (АВ х АС) = (-12; -24; 8)

Теперь находим произведение  (АВ х АС) х АД.

(АВ х АС) х АД =  (-12*(-7) + (-24)*(-7) + 8*10) = (84 + 168 + 80) =

                         = 84 + 168 + 56 = 308 .

Объём равен (1/6)*308 = 154/3 ≈ 51,333 куб.ед.

     

Answer 2

Для вычисления объема пирамиды ABCD и высоты, опущенной на грань ABC, нам понадобятся некоторые формулы и методы.

Объем пирамиды: Объем пирамиды можно вычислить, используя формулу:

V = (1/3) * S * h,

где V - объем пирамиды, S - площадь основания (грани ABC), а h - высота пирамиды.

Высота, опущенная на грань ABC: Для вычисления высоты, опущенной на грань ABC, нам понадобится найти нормаль к этой грани и расстояние от вершины D до этой грани. Высота опущенная на грань ABC будет равна этому расстоянию.

Шаги для вычисления:

1. Вычислите векторы AB, AC и AD.
2. Найдите векторное произведение векторов AB и AC, чтобы найти нормаль к грани ABC.
3. Найдите уравнение плоскости ABC (Ax + By + Cz + D = 0) с помощью найденной нормали (A, B, C) и координат точки A.
4. Найдите расстояние от вершины D до грани ABC, используя уравнение плоскости ABC.

По очереди выполним вычисления:

1. Вычисление векторов AB, AC и AD: AB = B - A = (4-2, 1-3, -2-1) = (2, -2, -3), AC = C - A = (6-2, 3-3, 7-1) = (4, 0, 6), AD = D - A = (-5-2, -4-3, 8-1) = (-7, -7, 7).

2. Найдите векторное произведение векторов AB и AC: n = AB x AC, n = (AB_y * AC_z - AB_z * AC_y, AB_z * AC_x - AB_x * AC_z, AB_x * AC_y - AB_y * AC_x), n = (2 * 6 - (-2) * 0, (-2) * 4 - 2 * 6, 2 * 0 - (-2) * 4), n = (12, -20, 8).

3. Найдите уравнение плоскости ABC: Для этого используем точку A(2, 3, 1) и найденную нормаль n(12, -20, 8):

12x - 20y + 8z + D = 0, подставим координаты точки A: 122 - 203 + 8*1 + D = 0, 24 - 60 + 8 + D = 0, D = 60 - 8 - 24, D = 28.

Уравнение плоскости ABC: 12x - 20y + 8z + 28 = 0.

4. Найдите расстояние от вершины D до грани ABC: Для этого используем уравнение плоскости ABC и координаты точки D(-5, -4, 8):

Расстояние h = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2), h = |12*(-5) - 20*(-4) + 8*8 + 28| / sqrt(12^2 + (-20)^2 + 8^2), h = |(-60) + 80 + 64 + 28| / sqrt(144 + 400 + 64), h = |112| / sqrt(608), h = 112 / sqrt(608).

Теперь у нас есть высота пирамиды, опущенная на грань ABC, и мы можем перейти к вычислению объема.

Объем пирамиды: V = (1/3) * S * h, где S - площадь грани ABC, найдем её.

Площадь грани ABC: Площадь треугольника ABC можно вычислить, используя векторное произведение векторов AB и AC:

S = (1/2) * |AB x AC|.

Вычислим:

|AB x AC| = |n| = sqrt(12^2 + (-20)^2 + 8^2) = sqrt(144 + 400 + 64) = sqrt(608).

Теперь вычислим S:

S = (1/2) * sqrt(608).

Теперь вычислим объем:

V = (1/3) * S * h, V = (1/3) * (1/2) * sqrt(608) * (112 / sqrt(608)), V = 56.

Таким образом, объем пирамиды ABCD равен 56 единиц^3, а высота, опущенная на грань ABC, равна 112 единиц.