Question

Найдите значения выражения х-у, если х^3-y^3=45 и xy*(x-y)=6

Answer 1

{х³-у³=45
{ху*(х-у)=6

(х-у)(х²+ху+у²)=45
(х-у)((х-у)²+3ху)=45
((х-у)³+(х-у)*3ху=45
(х-у)³+3*6=45
(х-у)³=45-18
(х-у)³=27
(х-у)³=3³
х-у=3

Answer 2

Для решения данной системы уравнений, можно воспользоваться методом подстановки или методом исключения переменных. Давайте воспользуемся методом исключения переменных.

Исходные уравнения:

1. $x^3 - y^3 = 45$
2. $xy(x - y) = 6$

Для начала решим второе уравнение относительно $x - y$: $xy(x - y) = 6$ $x^2y - xy^2 = 6$ $xy(x - y) - 6 = 0$

Теперь, решим первое уравнение относительно $x^3$: $x^3 - y^3 = 45$ $(x - y)(x^2 + xy + y^2) = 45$

Теперь используем полученные значения, чтобы выразить $x - y$: $(x - y) = \frac{45}{x^2 + xy + y^2}$

Теперь подставим значение $x - y$ в уравнение (2): $xy\left(\frac{45}{x^2 + xy + y^2}\right) = 6$

Умножим обе стороны уравнения на $x^2 + xy + y^2$ для упрощения: $45xy = 6(x^2 + xy + y^2)$

Теперь рассмотрим уравнение (1) и заменим $x^3$ на $y^3 + 45$: $(y^3 + 45) - y^3 = 45$ $45 = 45$

Таким образом, уравнение (1) верно, и у нас есть еще одно уравнение, которое содержит только $xy$: $45xy = 6(x^2 + xy + y^2)$

Теперь решим это уравнение относительно $xy$: $45xy = 6x^2 + 6xy + 6y^2$

Приведем все слагаемые на одну сторону: $6x^2 + 39xy + 6y^2 = 0$

Теперь, это квадратное уравнение относительно $xy$. Решим его, чтобы найти значения $xy$: $xy = \frac{-39 \pm \sqrt{39^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6}}{2 \cdot 6}$ $xy = \frac{-39 \pm \sqrt{1521 - 144}}{12}$ $xy = \frac{-39 \pm \sqrt{1377}}{12}$

Таким образом, у нас два значения $xy$: $xy_1 = \frac{-39 + \sqrt{1377}}{12}$ $xy_2 = \frac{-39 - \sqrt{1377}}{12}$

Теперь, чтобы найти значения $x$ и $y$, мы можем использовать уравнение (2): $xy(x - y) = 6$

Для первого значения $xy_1$: 0 0