Question

Найти пределы x->0 Lim arctgx/x

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Для нахождения предела выражения x -> 0 Lim(arctan(x)/x), можно использовать правило Лопиталя (L'Hôpital's rule). Это правило позволяет найти предел неопределенности вида 0/0 или ∞/∞ для некоторых функций.

Применяя правило Лопиталя, необходимо продифференцировать числитель и знаменатель по переменной x и затем вычислить предел получившегося выражения при x -> 0.

Начнем:

Числитель: arctan(x) Знаменатель: x

Первая производная числителя: d/dx(arctan(x)) = 1/(1 + x^2) (Производная функции arctan(x) равна 1/(1 + x^2))

Первая производная знаменателя: d/dx(x) = 1

Теперь рассмотрим предел числителя и знаменателя, когда x -> 0:

lim(x -> 0) arctan(x)/x = lim(x -> 0) (1/(1 + x^2)) / 1

Теперь подставим x = 0:

lim(x -> 0) arctan(x)/x = 1/(1 + 0^2) = 1/1 = 1

Итак, предел x -> 0 Lim(arctan(x)/x) равен 1.