Question

Решите уравнения: 1)3sinx+10cosx=0 2)sin2x+4cos2x=1 3)cos2x=3cos+1 4)cos3x-cos5x=sin4x

Answer 1

Решение на фотографиях

Answer 2

Давайте решим данные уравнения:

1. Уравнение: 3sin(x) + 10cos(x) = 0

Чтобы решить это уравнение, мы можем воспользоваться формулой для тангенса суммы двух углов:

tg(α+β) = (tgα + tgβ) / (1 - tgα * tgβ)

Здесь у нас tgα = sin(x), а tgβ = 10/3, так как cos(x) = 10/√(3^2 + 10^2) = 10/√109.

Таким образом, угол α + β равен:

α + β = arctg((sin(x) + 10/3) / (1 - 10/3 * sin(x)))

Следовательно, уравнение принимает вид:

3sin(x) + 10cos(x) = 0

3sin(x) + 10 * √(1 - sin^2(x)) = 0

Теперь заменим sin(x) на tg(α+β):

3tg(α+β) + 10 * √(1 - tg^2(α+β)) = 0

Теперь мы можем решить уравнение численно, используя численные методы, такие как метод Ньютона или метод бисекции.

2. Уравнение: sin(2x) + 4cos(2x) = 1

Мы знаем, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x) и cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x).

Заменим sin(2x) и cos(2x) в уравнении:

2sin(x)cos(x) + 4(cos^2(x) - sin^2(x)) = 1

Теперь перепишем cos^2(x) через sin^2(x), используя тригонометрическое тождество: cos^2(x) = 1 - sin^2(x).

2sin(x)cos(x) + 4(1 - sin^2(x)) - sin^2(x) = 1

Упростим уравнение:

2sin(x)cos(x) + 4 - 4sin^2(x) - sin^2(x) = 1

2sin(x)cos(x) - 5sin^2(x) + 4 = 1

2sin(x)cos(x) - 5sin^2(x) = -3

Теперь мы можем заменить sin(2x) через sin(x) и cos(x):

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Таким образом, уравнение становится:

sin(2x) - 5sin^2(x) = -3

Теперь это квадратное уравнение относительно sin(x). Решим его и найдем значения sin(x). Затем найдем значения cos(x) с помощью sin(x) и решим уравнение для x.

3. Уравнение: cos(2x) = 3cos(x) + 1

4. Уравнение: cos(3x) - cos(5x) = sin(4x)

Оба этих уравнения тоже можно решить с помощью тригонометрических тождеств, но они довольно сложные и приводят к выражениям, включающим несколько тригонометрических функций. Чтобы решить их, можно применить численные методы, такие как метод Ньютона или метод бисекции, или использовать компьютерные программы для символьного решения уравнений, такие как Mathematica или Maple.