Question

Помогите исследовать функцию y= (16-x^2)/(4x-5)

Answer 1

ОДЗ: х≠ 5/4
Если х=0 то у= - 16/5 (3,2)
Если у=0 то
16-х^2=0
(4-х)(4+х)=0
4-х=0
4+х=0
х=±4
Значит точки пересечения с осью Ох (-4;0) и (4;0)
Параллельное перенесение на 4 еденицы в право по оси Ох.
И параллельное перенесение на 3,2 по оси Оу.
Пример графика на скриншоте.

Answer 2

Давайте исследуем функцию y = (16 - x^2) / (4x - 5) на её особенности, асимптоты, точки пересечения с осями координат и поведение при различных значениях x.

1. Особенности: Функция имеет особенности, когда знаменатель равен нулю, то есть когда 4x - 5 = 0. Решим уравнение: 4x - 5 = 0 4x = 5 x = 5/4

Таким образом, функция имеет вертикальную асимптоту при x = 5/4.

2. Асимптоты: а) Вертикальная асимптота: Мы уже выяснили, что у функции есть вертикальная асимптота при x = 5/4.

б) Горизонтальная асимптота: Посмотрим на поведение функции при x, стремящемся к бесконечности: lim (x -> ∞) (16 - x^2) / (4x - 5)

При x, стремящемся к бесконечности, степенные члены в числителе и знаменателе имеют бесконечные значения, и можно применить правило Лопиталя для нахождения предела:

lim (x -> ∞) (16 - x^2) / (4x - 5) = lim (x -> ∞) (-2x) / 4 = -∞

Таким образом, у функции есть горизонтальная асимптота на y = -∞.

3. Точки пересечения с осями координат: a) Пересечение с осью y (x = 0): y = (16 - 0^2) / (4 * 0 - 5) = 16 / (-5) = -3.2

Точка пересечения с осью y равна (0, -3.2).

b) Пересечение с осью x (y = 0): (16 - x^2) / (4x - 5) = 0

Для решения этого уравнения, можно сначала решить числитель: 16 - x^2 = 0 x^2 = 16 x = ±√16 x = ±4

Теперь решим знаменатель: 4x - 5 = 0 4x = 5 x = 5/4

Таким образом, функция пересекает ось x в точках (4, 0) и (-5/4, 0).

4. Поведение при различных значениях x:

• Когда x стремится к положительной бесконечности, функция стремится к отрицательной бесконечности.
• Когда x стремится к отрицательной бесконечности, функция стремится к положительной бесконечности.
• Функция имеет вертикальную асимптоту при x = 5/4.
• Функция пересекает ось y в точке (0, -3.2) и ось x в точках (4, 0) и (-5/4, 0).

Пожалуйста, обратите внимание, что это общий анализ функции. Чтобы получить более детальную картину, можно построить график функции, что позволит лучше визуализировать её поведение.