Question

Найти все вещественные значения а, при каждом из которых числа √(a^2+1) и √3a^2+37 оба целые.

Answer 1

Ответ:

0.

Пошаговое объяснение:

Единственным значением a, удовлетворяющее условию, является 0.

√(0^2+1) = √1 = 1 - целое число;

√3*0^2+37 = 0+37 = 37 - целое число.

Answer 2

Чтобы найти все вещественные значения а, при которых числа √(a^2 + 1) и √(3a^2 + 37) оба являются целыми числами, выполним следующие шаги.

Пусть √(a^2 + 1) = x и √(3a^2 + 37) = y, где x и y - целые числа.

1. √(a^2 + 1) = x a^2 + 1 = x^2 a^2 = x^2 - 1

2. √(3a^2 + 37) = y 3a^2 + 37 = y^2 3a^2 = y^2 - 37

Теперь мы имеем систему уравнений: a^2 = x^2 - 1 ...........(1) 3a^2 = y^2 - 37 ...........(2)

Выразим a^2 из уравнения (1) и подставим в уравнение (2):

3(x^2 - 1) = y^2 - 37 3x^2 - 3 = y^2 - 37 3x^2 = y^2 - 34 ...........(3)

Таким образом, у нас есть система уравнений (1) и (3):

a^2 = x^2 - 1 3x^2 = y^2 - 34

Теперь переберем возможные значения целых чисел x и y, и найдем соответствующие значения а, для которых оба условия выполняются:

1. Пусть x = 1: a^2 = 1 - 1 = 0 a = 0 (т.к. мы ищем вещественные значения a)

2. Пусть x = 2: a^2 = 4 - 1 = 3 a = ±√3

3. Пусть x = 3: a^2 = 9 - 1 = 8 a = ±√8 = ±2√2

4. Пусть x = 4: a^2 = 16 - 1 = 15 a = ±√15

5. Пусть x = 5: a^2 = 25 - 1 = 24 a = ±√24 = ±2√6

Подведем итоги: Вещественные значения а, при каждом из которых числа √(a^2+1) и √(3a^2+37) оба являются целыми, это a = 0, a = ±√3, a = ±2√2 и a = ±2√6.