Question

Найдите стационарные точки функции f(x)=x^3-6x^2+9x-4

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для поиска стационарных точек функции $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4$ нужно найти значения $x$, при которых производная функции равна нулю. Стационарные точки соответствуют экстремумам функции (максимуму или минимуму) и точкам перегиба.

Шаги поиска стационарных точек:

1. Найдем производную функции $f(x)$ по $x$:

$f'(x) = \frac{d}{dx} (x^3 - 6x^2 + 9x - 4) = 3x^2 - 12x + 9.$

2. Найдем значения $x$, при которых $f'(x) = 0$:

$3x^2 - 12x + 9 = 0.$

3. Решим полученное квадратное уравнение:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},$

где $a = 3$, $b = -12$, $c = 9$.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9}}{2 \cdot 3} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 108}}{6} = \frac{12 \pm \sqrt{36}}{6} = \frac{12 \pm 6}{6}.$

Таким образом, получаем два значения $x$:

$x_1 = \frac{12 + 6}{6} = \frac{18}{6} = 3;$

$x_2 = \frac{12 - 6}{6} = \frac{6}{6} = 1.$

4. Теперь проверим, являются ли найденные значения $x$ точками экстремума или точками перегиба. Для этого посмотрим знаки второй производной функции $f''(x)$ в окрестностях каждой найденной стационарной точки.

$f''(x) = \frac{d^2}{dx^2} (3x^2 - 12x + 9) = 6x - 12.$

5. Вычислим значения $f''(x)$ в $x = 1$ и $x = 3$:

$f''(1) = 6 \cdot 1 - 12 = 6 - 12 = -6,$

$f''(3) = 6 \cdot 3 - 12 = 18 - 12 = 6.$

Теперь проанализируем полученные значения:

• $x = 1$: $f''(1) = -6$. Знак отрицательный, следовательно, в точке $x = 1$ функция имеет локальный максимум.
• $x = 3$: $f''(3) = 6$. Знак положительный, следовательно, в точке $x = 3$ функция имеет локальный минимум.

Таким образом, стационарные точки функции $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4$ следующие:

• $x = 1$ (локальный максимум)
• $x = 3$