Question

Найти производную сложной функции y=(sin^3*x+cos^3*2x)^2Помогите, пожалуйста

Answer 1

(y)'=((sin^3*(x)+cos^3*(2x))^2)'=2(sin^3*(x)+cos^3*(2x))*(sin^3(x)+cos^3(2x))'=2(sin^3*(x)+cos^3*(2x))*(3*sin^2(x)*(sin(x))'+3*cos^2(2x)*(cos(2x))')=2(sin^3*(x)+cos^3*(2x))*(3*sin^2(x)*cos(x)+3*cos^2(2x)*(-sin(2x))*(2x)')=2(sin^3*(x)+cos^3*(2x))*(3*sin^2(x)*cos(x)-6*cos^2(2x)*sin(2x))

Answer 2

Давайте найдем производную сложной функции по шагам, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

Дано: y = (sin^3(x) + cos^3(2x))^2

Шаг 1: Обозначим внутреннюю функцию u и внешнюю функцию v:

u = sin^3(x) + cos^3(2x) v = u^2

Шаг 2: Найдем производную u по x:

Для этого применим правило дифференцирования суммы:

d/dx (sin^3(x) + cos^3(2x)) = d/dx (sin^3(x)) + d/dx (cos^3(2x))

Дифференцируем sin^3(x):

d/dx (sin^3(x)) = 3sin^2(x) * cos(x)

Дифференцируем cos^3(2x):

d/dx (cos^3(2x)) = 3cos^2(2x) * (-sin(2x)) * 2

Теперь соберем всё вместе:

d/dx (sin^3(x) + cos^3(2x)) = 3sin^2(x) * cos(x) - 6cos^2(2x) * sin(2x)

Шаг 3: Теперь найдем производную v по x, используя правило дифференцирования квадрата:

d/dx (u^2) = 2u * d/dx (u)

Теперь мы знаем d/dx (u) из предыдущего шага:

d/dx (u^2) = 2u * (3sin^2(x) * cos(x) - 6cos^2(2x) * sin(2x))

Шаг 4: Наконец, найдем производную y по x, используя цепное правило:

d/dx (y) = d/dx (v)

d/dx (y) = 2u * (3sin^2(x) * cos(x) - 6cos^2(2x) * sin(2x))

Теперь, чтобы выразить производную y через x, нужно вернуться к определению u:

u = sin^3(x) + cos^3(2x)

Итак, производная y равна:

d/dx (y) = 2(sin^3(x) + cos^3(2x)) * (3sin^2(x) * cos(x) - 6cos^2(2x) * sin(2x))