Question

Найти общее решение уравнения y''=2x^2-5x+1 помогите решить

Answer 1

Y"=2x^2-5x+1
y"=5x+1
y"=y"

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы должны найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка. Сначала, найдем общее решение однородного уравнения, а затем, используя метод вариации постоянных, найдем частное решение неоднородного уравнения.

1. Однородное уравнение: Для однородного уравнения y'' = 0 общее решение имеет вид y(x) = Ax + B, где A и B - произвольные постоянные.

2. Частное решение неоднородного уравнения: Предположим, что частное решение неоднородного уравнения имеет вид y_p(x) = Cx^2 + Dx + E, где C, D и E - неизвестные постоянные, которые нужно найти.

Теперь продифференцируем дважды y_p(x) и подставим в исходное уравнение:

y''_p = 2C

Подставим y''_p в исходное уравнение:

2C = 2x^2 - 5x + 1

Теперь сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

2C = 2x^2 - 5x + 1

Система уравнений:

1. 2C = 2x^2
2. 0 = -5x
3. 0 = 1

Из уравнения 3 видим, что C = 1. Подставим C в уравнение 1:

2(1) = 2x^2

2 = 2x^2

x^2 = 1

x = ±1

Теперь найдем соответствующие значения D и E:

Подставим x = 1 в уравнение 2:

0 = -5(1)

0 = -5

Теперь подставим x = -1 в уравнение 2:

0 = -5(-1)

0 = 5

Таким образом, имеем:

C = 1 D = 0 E = 5

3. Общее решение: Общее решение неоднородного уравнения y(x) = y_h(x) + y_p(x), где y_h(x) - общее решение однородного уравнения, а y_p(x) - частное решение неоднородного уравнения.

Итак, общее решение уравнения y'' = 2x^2 - 5x + 1:

y(x) = Ax + B + x^2 + 5, где A и B - произвольные постоянные.