Question

Доведите то что: 27^7+3^18 кратно 7 16^6-2^20 кратно 15 6^4-4^5 кратно 17 Прошу пошагово! (Если что x^y это степень числа x которая равна y)

Answer 1

1)
${27}^{7} + {3}^{18} = {( {3}^{3} )}^{7} + {3}^{18} = \\ = {3}^{21} + {3}^{18} = {3}^{18} ( {3}^{3} + 1) = \\ = {3}^{18} (27 + 1) = {3}^{18} \times 28$
Таким образом, данную сумму, используя свойства степеней, преобразовали к произведению, в котором один из множителей (число 28) делится на 7, а значит и вся исходная сумма делится на 7.

2) Аналогично, поступаем с суммой под цифрой 2.
${16}^{6} - {2}^{20} = {( {2}^{4}) }^{6} - {2}^{20} = \\ = {2}^{24} - {2}^{20} = {2}^{20} ( {2}^{4} - 1) = \\ = {2}^{20} (16 - 1) = {2}^{20} \times 15$

3) И, в третьем примере, проделываем тоже самое
${6}^{4} - {4}^{5} = ( {2 \times 3)}^{4} - {( {2}^{2}) }^{5} = \\ = {2}^{4} \times {3}^{4} - {2}^{10} = {2}^{4} ( {3}^{4} - {2}^{6} ) = \\ = {2}^{4} (81 - 64) = {2}^{4} \times 17$

Answer 2

Давайте посмотрим на каждое уравнение по отдельности и докажем, что данные выражения кратны указанным числам.

1. Доказательство того, что 27^7 + 3^18 кратно 7:

Для начала заметим, что 27 = 3^3, следовательно, 27^7 = (3^3)^7 = 3^(3*7) = 3^21.

Теперь рассмотрим уравнение: 27^7 + 3^18.

Мы уже знаем, что 27^7 = 3^21, поэтому:

27^7 + 3^18 = 3^21 + 3^18.

Теперь давайте вынесем общий множитель 3^18:

3^21 + 3^18 = 3^18 * (3^3 + 1).

Заметим, что выражение в скобках (3^3 + 1) является суммой куба числа и единицы:

3^3 + 1 = 27 + 1 = 28.

Теперь у нас есть:

3^18 * (3^3 + 1) = 3^18 * 28.

Так как 28 = 4 * 7, то:

3^18 * 28 = 3^18 * (4 * 7) = 4 * (3^18 * 7).

Мы видим, что 3^18 * 7 является произведением числа 3^18 на 7, следовательно, оно кратно 7.

Таким образом, уравнение 27^7 + 3^18 кратно 7.

2. Доказательство того, что 16^6 - 2^20 кратно 15:

Для начала заметим, что 16 = 2^4, следовательно, 16^6 = (2^4)^6 = 2^(4*6) = 2^24.

Теперь рассмотрим уравнение: 16^6 - 2^20.

Мы уже знаем, что 16^6 = 2^24, поэтому:

16^6 - 2^20 = 2^24 - 2^20.

Теперь давайте вынесем общий множитель 2^20:

2^24 - 2^20 = 2^20 * (2^4 - 1).

Заметим, что выражение в скобках (2^4 - 1) является разностью четвертой степени числа и единицы:

2^4 - 1 = 16 - 1 = 15.

Теперь у нас есть:

2^20 * (2^4 - 1) = 2^20 * 15.

Так как 15 = 3 * 5, то:

2^20 * 15 = 2^20 * (3 * 5) = 3 * (2^20 * 5).

Мы видим, что 2^20 * 5 является произведением числа 2^20 на 5, следовательно, оно кратно 5.

Таким образом, уравнение 16^6 - 2^20 кратно 15.

3. Доказательство того, что 6^4 - 4^5 кратно 17:

Рассмотрим уравнение: 6^4 - 4^5.

Выполним вычисления:

6^4 - 4^5 = 1296 - 1024 = 272.

Теперь проверим, делится ли 272 на 17:

272 ÷ 17 = 16.

Так как 272 делится на 17 без остатка, то уравнение 6^4 - 4^5 кратно 17.

Таким образом, мы доказали, что все три уравнения удовлетворяют заданным условиям:

1. 27^7 + 3^18 кратно 7.
2. 16^6 - 2^20 кратно 15.
3. 6^4 - 4^5 кратно 17.