Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями у= -х^2+х+6, у= 2 - 2х ​

Answer 1

Дано:  y1= - x²+x+6,   y2 = - 2x + 2

Найти: S = ? - площадь.

Пошаговое объяснение:

Рисунок к задаче в приложении.

Площадь фигуры - разность интегралов функций.

Находим пределы интегрирования.

- x² + x+ 6 = 2 - 2x

x² - 3x - 4 = 0 - квадратное уравнение.

Пределы интегрирования:  а = -1, b = 4.

Записываем разность функций (в обратном порядке для интегрирования).

$F(x)=\int\limits^4_b {(-4-3x+x^2)} \, dx=-\frac{4x}{1}-\frac{3x^2}{2}+\frac{x^3}{3}$

Вычисляем подставив пределы интегрирования.

F(4) = 4 - 1.5 - 1/3 = 2 1/6

F(-1) = -16 - 24 + 21 1/3

S = F(4)-F(1) = 20 5/6 - площадь - ответ.

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения, а затем проинтегрировать разность функций между этими точками.

Для начала найдем точки пересечения двух кривых у= -х^2+х+6 и у= 2 - 2х:

-х^2+х+6 = 2 - 2х

Приравняем два уравнения:

-х^2 + х + 6 = 2 - 2х

Прибавим 2х ко всем частям уравнения:

-х^2 + 3х + 6 = 2

Теперь перенесем все части уравнения в одну сторону:

-х^2 + 3х + 6 - 2 = 0

-х^2 + 3х + 4 = 0

Для решения этого квадратного уравнения можно использовать квадратное уравнение:

х = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = -1, b = 3 и c = 4.

х = ( -3 ± √(3^2 - 4 * -1 * 4)) / 2 * -1

х = ( -3 ± √(9 + 16)) / -2

х = ( -3 ± √25) / -2

х = ( -3 ± 5) / -2

Таким образом, получаем два значения x:

1. х = ( -3 + 5) / -2 = 2 / -2 = -1

2. х = ( -3 - 5) / -2 = -8 / -2 = 4

Теперь у нас есть две точки пересечения: (-1, 7) и (4, -6).

Чтобы найти площадь фигуры между этими двумя кривыми, возьмем интеграл разности этих функций по x от -1 до 4:

Площадь = ∫[от -1 до 4] [(2 - 2х) - (-х^2 + х + 6)] dx

Площадь = ∫[от -1 до 4] [2 + х^2 - х - 6] dx

Площадь = ∫[от -1 до 4] [х^2 - х - 4] dx

Теперь найдем интеграл:

Площадь = [х^3/3 - х^2/2 - 4х] от -1 до 4

Площадь = [(4^3/3) - (4^2/2) - 4(4)] - [(-1)^3/3 - (-1)^2/2 - 4(-1)]

Площадь = [64/3 - 8 - 16] - [(-1)/3 - 1 + 4]

Площадь = [64/3 - 24] - [1/3 + 3]

Площадь = 40/3 - 10/3

Площадь = 30/3

Площадь = 10

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми у= -х^2+х+6 и у= 2 - 2х, равна 10 квадратным единицам (единицы площади).