Question

Какое наименьшее количество чисел нужно удалить из набора 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, чтобы произведение оставшихся было точным квадратом?

Answer 1

Ответ:

80

10+70=80

20+60=80

30+50=80

Пошаговое объяснение:

нам осталось только 40 и 90

40 и 90 нужно удалить

Answer 2

Чтобы произведение оставшихся чисел было точным квадратом, необходимо удалить числа таким образом, чтобы каждая простая степень каждого простого числа входила в произведение четное количество раз.

Разложим каждое число на простые множители:

10 = 2 * 5 20 = 2^2 * 5 30 = 2 * 3 * 5 40 = 2^3 * 5 50 = 2 * 5^2 60 = 2^2 * 3 * 5 70 = 2 * 5 * 7 80 = 2^4 * 5 90 = 2 * 3^2 * 5

Теперь посмотрим, сколько раз каждый простой множитель входит в набор чисел:

Простой множитель: 2, количество раз: 1 + 2 + 1 + 3 + 1 + 2 + 1 + 4 + 1 = 16 Простой множитель: 3, количество раз: 1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 6 Простой множитель: 5, количество раз: 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 11 Простой множитель: 7, количество раз: 1 = 1

Теперь мы видим, что простое число 2 встречается 16 раз, что делает общее произведение чисел нечетным, так как 16 нечетно. Чтобы сделать общее произведение квадратом, нам нужно удалить один из простых множителей 2.

Таким образом, наименьшее количество чисел, которые нужно удалить из набора, равно 1. Если удалить одну из двоек (например, удалить число 80), оставшиеся числа будут образовывать произведение, являющееся точным квадратом.

Answer 3

Чтобы произведение оставшихся чисел было точным квадратом, нужно удалить такие числа, которые входят в произведение в нечетных степенях. Это происходит потому, что нечетные степени чисел не могут быть представлены в виде квадрата целого числа.

В данном случае, произведение всех чисел равно:

10 * 20 * 30 * 40 * 50 * 60 * 70 * 80 * 90 = 362880000000

Давайте разложим это произведение на простые множители и выясним, какие из них входят в нечетные степени.

362880000000 = 2^11 * 3^8 * 5^8 * 7^3

Теперь рассмотрим каждый простой множитель:

1. 2 входит в степень 11 (нечетное).
2. 3 входит в степень 8 (четное).
3. 5 входит в степень 8 (четное).
4. 7 входит в степень 3 (нечетное).

Чтобы сделать произведение точным квадратом, нужно удалить два числа с множителем 2 и одно число с множителем 7. Таким образом, минимальное количество чисел, которые нужно удалить, равно 3.

Оставшиеся числа после удаления будут: 10, 20, 30, 50, 60, 80, 90. Их произведение:

10 * 20 * 30 * 50 * 60 * 80 * 90 = 31104000000 = (176400)^2.

Теперь произведение оставшихся чисел является точным квадратом.