Question

Проинтегрировать подходящей заменой переменной 1) (xdx)/(sqrt(2+x^2)) 2)e^(1-3x)*dx

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

1. Интеграл (xdx)/(sqrt(2+x^2)):

Для интегрирования данного выражения с помощью подходящей замены переменной, предлагается использовать следующую замену:

Положим u = 2 + x^2. Тогда, du = 2x dx.

Перепишем исходный интеграл с использованием новой переменной:

∫(xdx)/(sqrt(2+x^2)) = (1/2) * ∫(du)/sqrt(u)

Теперь проинтегрируем правую часть выражения:

(1/2) * ∫(du)/sqrt(u) = (1/2) * 2 * sqrt(u) + C = sqrt(u) + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь, подставим обратную замену, чтобы выразить результат через исходную переменную x:

sqrt(u) + C = sqrt(2 + x^2) + C.

Таким образом, окончательный ответ:

∫(xdx)/(sqrt(2+x^2)) = sqrt(2 + x^2) + C.

2. Интеграл e^(1-3x)*dx:

Для интегрирования данного выражения с помощью подходящей замены переменной, предлагается использовать следующую замену:

Положим v = 1 - 3x. Тогда, dv = -3 dx, а dx = -(1/3) dv.

Перепишем исходный интеграл с использованием новой переменной:

∫e^(1-3x) dx = ∫e^v * (-(1/3)) dv = -(1/3) ∫e^v dv.

Теперь проинтегрируем правую часть выражения:

-(1/3) ∫e^v dv = -(1/3) * e^v + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь, подставим обратную замену, чтобы выразить результат через исходную переменную x:

-(1/3) * e^v + C = -(1/3) * e^(1-3x) + C.

Таким образом, окончательный ответ:

∫e^(1-3x) dx = -(1/3) * e^(1-3x) + C.