Question

Найдите все натуральные значения n при которых значение выражения 24^n-4^n является простым числом

Answer 1

Таких n не существует, так как 24 и 4 в любой степени - числа четные, и разность четных чисел - число четное, а четное число не может быть простым т.к делится на 2

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение 24^n - 4^n и попробуем найти натуральные значения n, при которых оно является простым числом.

Заметим, что данное выражение является разностью квадратов: 24^n - 4^n = (24^n)^2 - (4^n)^2 = (24^n + 4^n)(24^n - 4^n).

Для того чтобы значение выражения было простым числом, один из двух множителей должен быть равен 1, так как простые числа имеют только два делителя - 1 и само число.

1. Первый случай: 24^n + 4^n = 1 Такое уравнение не имеет решений в натуральных числах, так как оба слагаемых 24^n и 4^n являются положительными числами и их сумма не может быть равной 1.

2. Второй случай: 24^n - 4^n = 1 Теперь рассмотрим это уравнение и попробуем найти натуральные значения n:

24^n - 4^n = 1 (24^n)^2 - (4^n)^2 = 1 (24^n + 4^n)(24^n - 4^n) = 1

Так как значение выражения является простым числом, то у нас есть два случая:

a) 24^n + 4^n = 1 и 24^n - 4^n = 1 Из первого уравнения видно, что 24^n < 1, что невозможно для натуральных n.

b) 24^n + 4^n = -1 и 24^n - 4^n = -1 В этом случае также нет решений в натуральных числах, так как сумма положительных чисел не может быть равна -1.

Таким образом, нет натуральных значений n, при которых значение выражения 24^n - 4^n является простым числом.