Question

Лнду 2 порядка с постоянными коэффициентами y''-4y'+4y=2sin2x​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, представим его характеристическое уравнение и найдем его корни. Затем воспользуемся методом вариации постоянных, чтобы найти частное решение данного уравнения.

Данное дифференциальное уравнение имеет вид: y'' - 4y' + 4y = 2sin(2x)

1. Характеристическое уравнение: Для линейного дифференциального уравнения второго порядка вида y'' + ay' + by = 0, характеристическое уравнение имеет вид: r^2 + ar + b = 0

В нашем случае, a = -4, b = 4, поэтому характеристическое уравнение будет: r^2 - 4r + 4 = 0

2. Найдем корни характеристического уравнения: r1,2 = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a r1,2 = (4 ± √(4^2 - 414)) / 2*1 r1,2 = (4 ± √(16 - 16)) / 2 r1,2 = (4 ± 0) / 2 r1,2 = 2

Уравнение имеет один корень кратности 2: r1 = r2 = 2.

3. Частное решение неоднородности: Частное решение будем искать в виде: y_p = Asin(2x) + Bcos(2x)

Теперь продифференцируем частное решение, чтобы подставить в исходное уравнение и найти неизвестные коэффициенты A и B.

y_p' = 2Acos(2x) - 2Bsin(2x) y_p'' = -4Asin(2x) - 4Bcos(2x)

Теперь подставим частное решение в исходное уравнение:

(-4Asin(2x) - 4Bcos(2x)) - 4(2Acos(2x) - 2Bsin(2x)) + 4(Asin(2x) + Bcos(2x)) = 2sin(2x)

Упростим выражение:

-4Asin(2x) - 4Bcos(2x) - 8Acos(2x) + 8Bsin(2x) + 4Asin(2x) + 4Bcos(2x) = 2sin(2x)

Теперь сократим некоторые члены:

-8Acos(2x) + 8Bsin(2x) = 2sin(2x)

Из данного уравнения получаем систему уравнений:

-8A = 0 8B = 2

Отсюда следует, что A = 0 и B = 1/4.

Таким образом, частное решение y_p: y_p = 0 + (1/4)*cos(2x) = (1/4)*cos(2x)

4. Общее решение: Общее решение линейного дифференциального уравнения: y(x) = C1e^(r1x) + C2xe^(r2*x) + y_p

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

В нашем случае r1 = r2 = 2, поэтому общее решение будет:

y(x) = C1e^(2x) + C2xe^(2*x) + (1/4)*cos(2x)

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.