Question

Пожалуйста, помогите решить ЛНДУ с постоянными коэффициентами y''-2y'+y= *(x+1)

Answer 1

Посмотрите предложенное решение; оформление не соблюдалось.

Answer 2

Для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ) с постоянными коэффициентами y'' - 2y' + y = x + 1, мы будем использовать метод вариации постоянных. Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения y'' - 2y' + y = 0, а затем найдем частное решение неоднородного уравнения.

1. Найдем общее решение однородного уравнения y'' - 2y' + y = 0:

Предположим, что y имеет вид y = e^(rx), где r - неизвестная константа.

Подставим это предположение в уравнение:

y'' - 2y' + y = r^2e^(rx) - 2re^(rx) + e^(rx) = 0

Теперь поделим уравнение на e^(rx):

r^2 - 2r + 1 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

(r - 1)^2 = 0

Отсюда получаем, что r = 1 (корень кратности 2).

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_h = (C1 + C2x)e^x, где C1 и C2 - произвольные постоянные.

2. Найдем частное решение неоднородного уравнения:

Предположим, что частное решение имеет вид y_p = Ax + B, где A и B - неизвестные коэффициенты.

Подставим это предположение в уравнение:

y'' - 2y' + y = A - 2A + B = x + 1

• A + B = 1 ...(1)

Теперь найдем производные y_p:

y_p' = A,

y_p'' = 0.

Теперь подставим производные и y_p в уравнение:

0 - 2A + (Ax + B) = x + 1

Ax - 2A + B = x + 1

Ax - 2A + B - x - 1 = 0

Ax - x - 2A + B - 1 = 0

(x(A-1) - 2(A - 1)) = 0

(x-2)(A-1) = 0

Отсюда получаем два случая:

1. A - 1 = 0 => A = 1

Подставим это значение в уравнение (1):

-1 + B = 1

B = 1 + 1

B = 2

Таким образом, первый случай дает нам A = 1 и B = 2, и соответствующее частное решение:

y_p1 = x + 2.

2. x - 2 = 0 => x = 2

Подставим это значение в уравнение (1):

A + B = 1

A + B = 1

A + B = 1

A + 1 = 1

A = 0

Таким образом, второй случай дает нам A = 0 и B = 1, и соответствующее частное решение:

y_p2 = 1.

Общее решение неоднородного уравнения:

y = y_h + y_p = (C1 + C2x)e^x + (x + 2) или (C1 + C2x)e^x + 1.