Question

При любых значениях x и y верно неравенство 5х^2+4ху+у^2+6х > А Найдите наибольшее возможное целое значение А.

Answer 1

Ответ: - 10

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для нахождения наибольшего возможного целого значения А, при котором неравенство 5х^2 + 4ху + у^2 + 6х > А верно для любых значений x и y, нужно использовать метод завершения квадратов (completing the square).

Начнем с левой части неравенства: 5х^2 + 4ху + у^2 + 6х.

1. Сгруппируем первые два члена, содержащих х: 5х^2 + 6х = х(5х + 6).

2. Заметим, что второй и третий члены образуют квадратный трехчлен: у^2 + 4ху = (у + 2х)^2 - 4х^2у.

Теперь объединим обе части неравенства:

(х(5х + 6) + (у + 2х)^2 - 4х^2у) > А.

Теперь перенесем все члены справа налево:

(х(5х + 6) + (у + 2х)^2 - 4х^2у) - А > 0.

Теперь давайте рассмотрим полученное выражение как квадратный трехчлен относительно у и разберемся с тем, при каких значениях А это выражение будет всегда положительным. Для этого нам нужно, чтобы дискриминант этого квадратного трехчлена был отрицательным (чтобы не имел действительных корней). Это произойдет, когда лидирующий коэффициент при у^2 будет отрицательным.

Лидирующий коэффициент у^2 - 4х^2 должен быть отрицательным:

1 - 4х^2 < 0. 4х^2 > 1. х^2 > 1/4.

Теперь, чтобы неравенство было выполнено для любых значений х и у, это условие должно выполняться при любых значениях х. Таким образом, мы можем взять наибольшее возможное значение А, когда х^2 = 1/4.

При х^2 = 1/4, х = ±1/2.

Теперь, чтобы получить наибольшее возможное целое значение А, подставим х = ±1/2 в исходное выражение и найдем соответствующее значение у:

1. При х = 1/2: у^2 + 4(1/2)у = у^2 + 2у.

2. При х = -1/2: у^2 - 4(1/2)у = у^2 - 2у.

Наибольшее значение у будет получено при х = -1/2, чтобы получить наибольшее возможное значение А:

При х = -1/2 и у = -2: А = у^2 - 2у = (-2)^2 - 2(-2) = 4 + 4 = 8.

Таким образом, наибольшее возможное целое значение А равно 8.