Question

Вычислить неопределённый интеграл введением неизвестного под знак дифференциала ∫(1+lnx)/x dx

Answer 1

$\int {(1+\ln x)} \, d\ln x=\ln x+\frac{1}{2} \ln^2 x+C$

Answer 2

Для вычисления данного неопределенного интеграла, введем под знак дифференциала переменную $u = \ln x$. Тогда $du = \frac{1}{x} dx$. Подставим это в выражение:

$\int \frac{1 + \ln x}{x} dx = \int \frac{1 + u}{x} dx = \int \frac{1}{x} dx + \int \frac{u}{x} dx$.

Первый интеграл справа просто равен $\ln|x|$. Для второго интеграла справа также заменим переменную:

$\int \frac{u}{x} dx = \int \frac{u}{e^u} du$.

Теперь воспользуемся методом интегрирования по частям. Если $\int u \, dv = uv - \int v \, du$, то можно записать:

$\int \frac{u}{e^u} du = u \cdot \int e^{-u} du - \int \left(\int e^{-u} du\right) \, du$.

Вычислим оба интеграла:

$\int e^{-u} du = -e^{-u} + C_1$.

$\int \left(\int e^{-u} du\right) \, du = \int (-e^{-u} + C_1) du = -\int e^{-u} du + C_1 \cdot \int du = -(-e^{-u} + C_1) + C_1 \cdot u + C_2$.

Таким образом, второй интеграл равен $(-e^{-u} + C_1) + C_1 \cdot u + C_2 = -e^{-u} + C_1 \cdot u + C_2$.

Теперь подставим результаты обратно в исходное выражение:

$\int \frac{1 + \ln x}{x} dx = \ln|x| - e^{-u} + C_1 \cdot u + C_2 = \ln|x| - e^{-\ln x} + C_1 \cdot \ln x + C_2$.

Так как $e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$, получаем окончательный ответ:

$\int \frac{1 + \ln x}{x} dx = \ln|x| - \frac{1}{x} + C_1 \cdot \ln x + C_2$.

Здесь $C_1$ и $C_2$ — произвольные постоянные интегрирования.