Question

Какое наибольшее количество различных натуральных чисел можно выписать на доску так, чтобы произведение любых четырех из них делилось на 210, но при этом никакое из них не делилось на 210?

Answer 1

1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 7

210 = 1*2*3*5*7

Answer 2

Для решения этой задачи нужно выяснить, какие числа могут образовывать произведение, делящееся на 210. Затем нужно найти такое максимальное количество различных натуральных чисел, которое можно выбрать, чтобы их произведение делилось на 210.

Произведение, делящееся на 210, будет иметь следующий вид: 210 = 2 * 3 * 5 * 7.

Мы можем выбрать одно из чисел из каждой группы множителей, чтобы обеспечить деление на 210. Возможные комбинации для произведения, делящегося на 210, будут:

1. Выбрать по одному числу из группы множителей {2, 2^2, 2^3, 2^4, ...} (множество четных чисел).
2. Выбрать по одному числу из группы множителей {3, 3^2, 3^3, ...} (множество чисел, кратных 3).
3. Выбрать по одному числу из группы множителей {5, 5^2, 5^3, ...} (множество чисел, кратных 5).
4. Выбрать по одному числу из группы множителей {7, 7^2, 7^3, ...} (множество чисел, кратных 7).

Теперь посмотрим, сколько различных чисел мы можем выбрать из каждой группы:

1. Для множества четных чисел {2, 4, 8, 16, ...} нам необходимо выбрать нечетное число различных чисел, так как иначе их произведение будет кратно 2. Выберем 3 числа: {2, 4, 8}.

2. Для множества чисел, кратных 3 {3, 9, 27, ...} нам также нужно выбрать нечетное число различных чисел. Выберем 3 числа: {3, 9, 27}.

3. Для множества чисел, кратных 5 {5, 25, ...} мы также выберем 3 числа: {5, 25, ...}.

4. Для множества чисел, кратных 7 {7, 49, ...} мы также выберем 3 числа: {7, 49, ...}.

Теперь у нас есть 4 группы чисел, из каждой из которых мы выбрали 3 различных числа. Максимальное количество различных натуральных чисел, которое мы можем выписать на доску, так чтобы их произведение делилось на 210, но никакое из них не делилось на 210, составляет 3 * 4 = 12 чисел.