Question

Найдите точки экстремума функции а) y=x^4-4x^3-8x^2-1 б) y=x/3+12/x​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

a) найдем производную  y~=` 4x^3-12x^2-16x=0,  4x(x^2-3x-4)=0,  4x(x-4)(x+1)=0,  x=0,x=4,x=-1  точки экстремума,  -1. 4- точки min,  0 -max

б)y`=1/3-12/x^2=(x^2-36)/x^2=0,  x=6 , x=-6,  max x=-6,  min x=6

Answer 2

Для нахождения точек экстремума функций, необходимо сначала найти их производные и приравнять их к нулю. Точки, в которых производные равны нулю или не существуют, могут представлять точки экстремума.

а) Найдем точки экстремума для функции y = x^4 - 4x^3 - 8x^2 - 1:

Шаг 1: Найдем производную функции y по x: y' = d/dx(x^4 - 4x^3 - 8x^2 - 1) y' = 4x^3 - 12x^2 - 16x

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и найдем критические точки: 4x^3 - 12x^2 - 16x = 0

Шаг 3: Факторизуем, чтобы найти значения x: 4x(x^2 - 3x - 4) = 0 4x(x - 4)(x + 1) = 0

Таким образом, получаем три критические точки: x = 0, x = 4 и x = -1.

Шаг 4: Для определения характера точек экстремума (минимум или максимум), проанализируем знаки второй производной в окрестности критических точек.

Вторая производная: y'' = d^2/dx^2 (4x^3 - 12x^2 - 16x) y'' = 12x^2 - 24x - 16

Шаг 5: Подставим критические точки во вторую производную и определим характер точек экстремума:

• При x = 0: y''(0) = 12(0)^2 - 24(0) - 16 = -16 (менее нуля), значит, точка x = 0 - это максимум.

• При x = 4: y''(4) = 12(4)^2 - 24(4) - 16 = 64 - 96 - 16 = -48 (менее нуля), значит, точка x = 4 - это максимум.

• При x = -1: y''(-1) = 12(-1)^2 - 24(-1) - 16 = 12 + 24 - 16 = 20 (больше нуля), значит, точка x = -1 - это минимум.

Итак, у функции y = x^4 - 4x^3 - 8x^2 - 1 имеются две точки экстремума: минимум в точке x = -1 и максимумы в точках x = 0 и x = 4.

б) Найдем точки экстремума для функции y = x/3 + 12/x:

Шаг 1: Найдем производную функции y по x: y' = d/dx(x/3 + 12/x) y' = 1/3 - 12/x^2

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и найдем критические точки: 1/3 - 12/x^2 = 0

Шаг 3: Решим уравнение для x: 12/x^2 = 1/3 x^2 = 12 * 3 x^2 = 36 x = ±√36 x = ±6

Таким образом, получаем две критические точки: x = 6 и x = -6.

Шаг 4: Анализируем знаки второй производной в окрестности критических точек для определения характера точек экстремума.

Вторая производная: y'' = d^2/dx^2 (1/3 - 12/x^2) y'' = 24/x^3

Шаг 5: Подставим критические точки во вторую производную:

• При x = 6: y''(6) = 24/(6)^3 = 24/216 = 1/9 (больше нуля), значит, точка x = 6 - это минимум.

• При x = -6: y''(-6) = 24/(-6)^3 = 24/(-216) = -1/9 (менее нуля), значит, точка x = -6 - это максимум.

Итак, у функции y = x/3 + 12/x имеется одна точка экстремума: минимум в точке x = 6 и максимум в точке x = -6.