Question

Перечислите основные свойства определенного интеграла

Answer 1

Линейность, аддитивность, нормированность

Answer 2

Определенный интеграл - это математический инструмент, который представляет собой обобщение понятия площади под кривой на произвольных интервалах и используется в математическом анализе и физике. Вот основные свойства определенного интеграла:

1. Линейность: Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов этих функций. Формально: ∫[a, b] (f(x) + g(x)) dx = ∫[a, b] f(x) dx + ∫[a, b] g(x) dx

2. Аддитивность: Если интервал разбивается на несколько подотрезков, то значение интеграла на всем интервале равно сумме интегралов на каждом из подотрезков. Формально: ∫[a, b] f(x) dx = ∑[i=1 to n] ∫[x_i-1, x_i] f(x) dx, где [a, b] = [x_0, x_1] ∪ [x_1, x_2] ∪ ... ∪ [x_n-1, x_n]

3. Интеграл от постоянной функции: Интеграл от постоянной функции равен произведению этой константы на длину интервала интегрирования. Формально: ∫[a, b] c dx = c(b - a), где c - константа.

4. Интеграл от противоположной функции: Интеграл от функции сменяет знак при изменении пределов интегрирования. Формально: ∫[a, b] -f(x) dx = -∫[a, b] f(x) dx

5. Монотонность: Если на интервале [a, b] функция f(x) меньше или равна g(x), то интеграл от f(x) по этому интервалу также меньше или равен интегралу от g(x) по этому интервалу. Формально: Если f(x) ≤ g(x) для всех x ∈ [a, b], то ∫[a, b] f(x) dx ≤ ∫[a, b] g(x) dx

6. Свойство среднего значения: Если функция f(x) непрерывна на интервале [a, b], то существует точка с ∈ [a, b], такая что значение интеграла от f(x) на этом интервале равно произведению f(с) на длину интервала [a, b]: ∫[a, b] f(x) dx = f(с) * (b - a) для некоторой с ∈ [a, b]

7. Замена переменной: При замене переменной в определенном интеграле с помощью подстановки u = g(x) выполняется следующее равенство: ∫[a, b] f(g(x)) g'(x) dx = ∫[g(a), g(b)] f(u) du

8. Свойство неравенства: Если на интервале [a, b] выполняется f(x) ≤ h(x) ≤ g(x), то справедливо следующее неравенство: ∫[a, b] f(x) dx ≤ ∫[a, b] h(x) dx ≤ ∫[a, b] g(x) dx

Эти свойства позволяют более эффективно работать с определенными интегралами, а также применять их в различных задачах анализа и приложенной математики.