Question

Ответить на вопросы 1. Первообразная. 2. Правила нахождения первообразных. 3. Свойства определенного интеграла. 4. Свойства неопределенного интеграла. 5. Методы интегрирования. 6. Вычисление определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Answer 1

1 Первообразная это функция f(x)
2 первое правило
Если F есть первообразная для f, a k постоянная то функция kF первообразная для kf
(kf)’=kF’=kf
3 функция y=f(x)
определенная при х=а, аналогично справедливому равенству
f(x)=dx =0
4 f(x)dx=F(x)+C если F’(x)=f(x)
Неопределённым интегралом функции f(x) называется совокупность всех первообразных этой функции
5 ответ на фотке
6 Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и F(x) одна из первообразных функции на это отрезке тогда справедливо формула Ньютона Лейбница f(х)dx=F(b)-F(a)

Answer 2

1. Первообразная: Первообразная функции F(x) относительно переменной x - это функция f(x), производная которой равна данной функции F(x). Формально, если F'(x) = f(x), то f(x) является первообразной для F(x). Обозначается как ∫f(x) dx = F(x) + C, где C - произвольная постоянная (константа).

2. Правила нахождения первообразных:

   • Правило степенной функции: ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, при n ≠ -1.
   • Правило линейной комбинации: ∫(af(x) + bg(x)) dx = a∫f(x) dx + b∫g(x) dx.
   • Таблица стандартных интегралов и элементарных функций.
   • Интегрирование по частям: ∫u dv = uv - ∫v du.
   • Замена переменной (смена переменной интегрирования): ∫f(g(x)) g'(x) dx = ∫f(u) du, где u = g(x).

3. Свойства определенного интеграла:

   • Линейность: ∫[a, b] (f(x) + g(x)) dx = ∫[a, b] f(x) dx + ∫[a, b] g(x) dx.
   • Аддитивность: ∫[a, b] f(x) dx = ∫[a, c] f(x) dx + ∫[c, b] f(x) dx, для любого c ∈ [a, b].
   • Инвариантность относительно смены переменной: Если u = g(x) является непрерывной функцией и g([a, b]) = [α, β], то ∫[a, b] f(g(x)) g'(x) dx = ∫[α, β] f(u) du.
   • Оценка модуля: |∫[a, b] f(x) dx| ≤ ∫[a, b] |f(x)| dx.

4. Свойства неопределенного интеграла:

   • Линейность: ∫(af(x) + bg(x)) dx = a∫f(x) dx + b∫g(x) dx.
   • Инвариантность относительно константы: ∫f(x) dx = F(x) + C, тогда ∫f(x) dx + K = F(x) + (C + K), где K - произвольная константа.

5. Методы интегрирования:

   • Метод подстановки (замена переменной).
   • Интегрирование по частям.
   • Разложение на простейшие дроби (для рациональных функций).
   • Тригонометрические подстановки.
   • Таблица интегралов и известных функциональных формул.

6. Вычисление определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница: Формула Ньютона-Лейбница связывает определенный интеграл функции с её первообразной: ∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a), где F(x) - первообразная функции f(x). Эта формула позволяет вычислять определенные интегралы путем вычисления значения первообразной на конечных пределах интегрирования.