Question

Решите уравнение в целых числах: 53х+47у=11

Answer 1

В ответе можно оставить и значения x', y', ошибкой это не будет. Я просто немного приукрасил.

Answer 2

Для решения данного уравнения в целых числах, мы будем использовать метод расширенного алгоритма Евклида.

Уравнение имеет вид: 53x + 47y = 11.

1. Найдем наибольший общий делитель (НОД) для чисел 53 и 47 с помощью алгоритма Евклида.

53 = 1 * 47 + 6 47 = 7 * 6 + 5 6 = 1 * 5 + 1 5 = 5 * 1 + 0

НОД(53, 47) = 1.

Таким образом, так как НОД равен 1, уравнение имеет бесконечное количество решений в целых числах.

2. Теперь, чтобы найти одно из решений, используем расширенный алгоритм Евклида:

Обратный проход: 1 = 6 - 1 * 5 1 = 6 - 1 * (47 - 7 * 6) 1 = 8 * 6 - 1 * 47 1 = 8 * (53 - 1 * 47) - 1 * 47 1 = 8 * 53 - 9 * 47

Теперь умножим обе части уравнения на 11 (все коэффициенты умножим на 11):

11 = 88 * 53 - 99 * 47

Таким образом, одно из решений уравнения 53x + 47y = 11 в целых числах будет: x = 88, y = -99.

Кроме этого, у уравнения бесконечное количество решений, которые можно получить прибавляя или вычитая любое кратное НОД чисел 53 и 47 к x и y.