Question

Даны четыре точки М1, М2, М3, М0. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки М1, М2, М3. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М0 перпендикулярно найденной плоскости. Найти точку пересечения прямой и плоскости. М1(1;2;0), М2(1;-1;2), М3(0;1;-1), М0(2;-1;4).

Answer 1

Ответ:

Поша Выберите один ответ:

a. х-3у+5z-7=0

b. 3х-у-z-2=0

c. х-3у-4z-12=0

d. 7х-2у+11z-21=0говое объяснение

Answer 2

Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точки М1, М2 и М3, мы можем воспользоваться уравнением плоскости, которое имеет вид:

Ax + By + Cz + D = 0,

где A, B, C - коэффициенты, определяющие нормаль к плоскости, а x, y, z - координаты точек, через которые проходит плоскость.

1. Найдем векторы AB и AC: AB = М2 - М1 = (1, -1, 2) - (1, 2, 0) = (0, -3, 2), AC = М3 - М1 = (0, 1, -1) - (1, 2, 0) = (-1, -1, -1).

2. Теперь найдем векторное произведение AB и AC, которое будет нормалью к плоскости: n = AB x AC = (0, -3, 2) x (-1, -1, -1) = (-5, -2, 3).

3. Найдем D, подставив координаты точки М1 в уравнение плоскости: -5 * 1 + (-2) * 2 + 3 * 0 + D = 0, -5 - 4 + D = 0, D = 9.

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки М1, М2 и М3, будет иметь вид:

-5x - 2y + 3z + 9 = 0.

Теперь составим уравнение прямой, проходящей через точку М0 и перпендикулярной найденной плоскости. Такая прямая будет параллельна вектору нормали плоскости (так как перпендикулярные прямые имеют векторы направления, являющиеся скалярными произведениями равными нулю).

Таким образом, направляющий вектор прямой будет равен вектору нормали плоскости:

n = (-5, -2, 3).

Теперь составим канонические уравнения прямой, используя точку М0(2, -1, 4) и направляющий вектор n(-5, -2, 3):

x = x0 + (-5)t, y = y0 + (-2)t, z = z0 + 3t,

где x0, y0, z0 - координаты точки М0.

Подставим значения точки М0:

x = 2 - 5t, y = -1 - 2t, z = 4 + 3t.

Теперь нам нужно найти точку пересечения прямой и плоскости. Для этого подставим уравнение прямой в уравнение плоскости:

-5(2 - 5t) - 2(-1 - 2t) + 3(4 + 3t) + 9 = 0.

Решим это уравнение:

-10 + 25t + 2 + 4t + 12t + 9 + 9 = 0, 25t + 4t + 12t = -10 - 2 - 9 - 9, 41t = -30, t = -30 / 41.

Теперь подставим найденное значение t обратно в уравнение прямой, чтобы найти координаты точки пересечения:

x = 2 - 5 * (-30 / 41) = 2 + 150 / 41, y = -1 - 2 * (-30 / 41) = -1 + 60 / 41, z = 4 + 3 * (-30 / 41) = 4 - 90 / 41.

Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты:

x ≈ 5.6829, y ≈ 0.4634, z ≈ 1.1707.