Question

В гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии сумма пер­во­го и вто­ро­го чле­нов равна 21 , а сумма вто­ро­го и тре­тье­го чле­нов равна 42 . Най­ди­те сумму первого и пятого членов про­грес­сии.

Answer 1

$\begin{cases}b_1+b_2=21\\b_2+b_3=42\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b_1+b_1q=21\\b_1q+b_1q^2=42\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b_1(1+q)=21\\b_1q(1+q)=42\end{cases}\Rightarrow\\\Rightarrow\begin{cases}1+q=\frac{21}{b_1}\\1+q=\frac{42}{b_1q}\end{cases}\\\\\frac{21}{b_1}=\frac{42}{b_1q}\\q=\frac{42}{b_1}\cdot\frac{b_1}{21}\\q=2\\\\\begin{cases}b_1=\frac{21}{1+q}=\frac{21}3=7\\q=2\end{cases}\\\\b_5=b_1q^4=7\cdot2^4=7\cdot16=112\\b_1+b_5=7+112=119$

Answer 2

Для решения данной задачи давайте представим геометрическую прогрессию в виде:

a - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии.

Таким образом, первые два члена будут: a и ar (поскольку сумма первого и второго членов равна 21).

Также известно, что сумма второго и третьего членов равна 42, значит, второй и третий члены равны: ar и ar^2.

Теперь мы можем записать уравнения на основе данных:

a + ar = 21 (1) ar + ar^2 = 42 (2)

Теперь найдем a из первого уравнения:

a(1 + r) = 21

a = 21 / (1 + r)

Подставим значение a во второе уравнение:

(21 / (1 + r)) * r + (21 / (1 + r)) * r^2 = 42

Умножим обе стороны уравнения на (1 + r) для упрощения:

21r + 21r^2 = 42(1 + r)

21r^2 + 21r = 42r + 42

21r^2 - 21r - 42 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение:

r^2 - r - 2 = 0

(r - 2)(r + 1) = 0

Таким образом, получаем два значения r: r1 = 2 и r2 = -1.

Теперь найдем соответствующие значения a:

Для r1 = 2:

a = 21 / (1 + 2) = 7

Для r2 = -1:

a = 21 / (1 - 1) (нельзя делить на ноль)

Таким образом, получаем две прогрессии:

1. Прогрессия с a = 7 и r = 2: 7, 14, 28, 56, ...

2. Прогрессия с a = 21 и r = -1: 21, -21, 21, -21, ...

Теперь можем найти сумму первого и пятого членов каждой прогрессии:

1. Сумма первого и пятого членов прогрессии с a = 7 и r = 2:

S1 = a + ar^4 = 7 + 7 * 2^4 = 7 + 7 * 16 = 7 + 112 = 119

2. Сумма первого и пятого членов прогрессии с a = 21 и r = -1:

S2 = a + ar^4 = 21 + 21 * (-1)^4 = 21 + 21 = 42

Ответ: Сумма первого и пятого членов прогрессии равна 119 для прогрессии с a = 7 и r = 2, и 42 для прогрессии с a = 21 и r = -1.