Question

Найти точки экстремума функции f(x)=0.5x^4-2x^2

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Находим производную и приравниваем к  нулю,  f`(x)=0,5*4x^3-2*2x=2x^3-4x,  2x^3-4x=0,  2x(x^2-2)=0,   x=0  или  x^2=2, x=V2  или x=-V2,  отмечаем точки экстремума на числовой прямой и знаки производной на каждом промежутке  -    -V2     +    0    -    V2    +,    в точках  -V2  и  V2  производная меняет знак  с (-) на (+) - это точки  min,  т.0- точка max   (V-обозначение корня)

Answer 2

Для нахождения точек экстремума функции f(x) = 0.5x^4 - 2x^2, нужно найти значения x, при которых производная функции равна нулю.

Шаг 1: Найдем производную функции f'(x): f(x) = 0.5x^4 - 2x^2

Для нахождения производной, применим правило дифференцирования для каждого члена функции:

f'(x) = d/dx (0.5x^4) - d/dx (2x^2) f'(x) = 2 * 0.5 * x^(4-1) - 2 * 2 * x^(2-1) f'(x) = x^3 - 4x

Шаг 2: Найдем значения x, при которых производная равна нулю:

x^3 - 4x = 0

Шаг 3: Решим уравнение:

x(x^2 - 4) = 0

Теперь выразим значения x:

1. x = 0
2. x^2 - 4 = 0 x^2 = 4 x = ±√4 x = ±2

Таким образом, точки экстремума функции f(x) = 0.5x^4 - 2x^2 - это x = 0 и x = ±2.

Чтобы определить, является ли точка экстремума минимумом или максимумом, можно анализировать вторую производную функции вокруг этих точек. Однако, для этого необходимо найти вторую производную f''(x) и проанализировать знаки в окрестности точек x = 0 и x = ±2. Если f''(x) > 0, то это будет минимум, и если f''(x) < 0, то это будет максимум. Но для данного случая нам достаточно сказать, что точка x = 0 - это локальный максимум, а точки x = ±2 - локальные минимумы.