Question

Забором длинной 100 м нужно огородить прямоугольный участок, примыкающий к стене.Какую наибольшую площадь может иметь огражденный участок?

Answer 1

Ответ:

наибольшая площадь огражденного участка  может быть 1250м²

Пошаговое объяснение:

У нас есть сумма длин трех сторон прямоугольника.

Пусть одна сторона прямоугольника,  та, которых две, равна х м.

тогда другая, которая одна,  равна (100-2х).

Площадь участка S(x) = (x*(100-2x))м² =  (100x - 2x²)м²

Найдем х₀, при котором функция площади достигает максимума.

Для этого найдем точки экстремума.

S'(x) = (100x - 2x²)' =  100 - 4x

100 - 4x = 0

x₀ = 25 - одна точка экстремума.

Поскольку функция площади у нас - это парабола ветвями вниз, то точка  x₀ - это точка максимума.

В терминах нашей задачи: площадь участка будет максимальной при х = 25м:

$S(25) = \bigg ( 100*25 - 2(25^2)\bigg )m^2 =1250 m^2$    

Answer 2

Для максимизации площади огражденного участка, необходимо его огородить прямоугольным забором, который будет иметь одну из сторон, примыкающих к стене. Другая сторона забора будет образовывать ограниченную стенкой сторону прямоугольного участка.

Допустим, сторона участка, примыкающая к стене, равна x метров. Тогда вторая сторона прямоугольника, перпендикулярная стене, будет иметь длину (100 - 2x) метров (поскольку 100 м - длина всего забора, и мы вычитаем два участка длины x, которые соответствуют местам, где забор примыкает к стене).

Таким образом, площадь прямоугольного участка S(x) выражается как произведение длин двух его сторон:

S(x) = x * (100 - 2x)

Чтобы найти наибольшую площадь, нужно найти максимум этой функции.

S(x) = 100x - 2x^2

Для нахождения максимального значения функции, найдем точку экстремума, приравняв производную к нулю:

dS/dx = 100 - 4x = 0

Теперь решим уравнение:

4x = 100

x = 25

Теперь, чтобы удостовериться, что это действительно точка максимума, нужно проверить знак второй производной:

d^2S/dx^2 = -4

Поскольку вторая производная отрицательная, это подтверждает, что у нас действительно точка максимума.

Таким образом, наибольшая площадь огражденного участка составит:

S(25) = 25 * (100 - 2 * 25) = 25 * 50 = 1250 квадратных метров.