Question

При каком натуральном значении n 3/n от числа 60 будет наибольшим числом? Укажите это число.

Answer 1

У правильной дроби числитель меньше знаменателя: 3 < n, где n - натуральное число.

3/4 от 60 = 60 : 4 · 3 = 45

Ответ: при n = 4, дробь 3/n будет наибольшей.

Answer 2

Для того чтобы найти при каком натуральном значении $n$ выражение $\frac{3}{n}$ от числа 60 будет наибольшим, нужно максимизировать функцию $\frac{3}{n}$ при условии $n$ - натуральное число и $n$ не может быть равно нулю.

Мы можем выразить функцию, которую нужно максимизировать, как $f(n) = \frac{3}{n}$.

Чтобы найти максимальное значение $f(n)$, возьмем производную функции $f(n)$ по $n$ и приравняем ее к нулю:

$\frac{d}{dn}(f(n)) = \frac{d}{dn}\left(\frac{3}{n}\right) = -\frac{3}{n^2} = 0$.

Теперь найдем значение $n$:

$-\frac{3}{n^2} = 0$.

Так как это уравнение не имеет решений при $n \neq 0$ (потому что дробь не может быть равна нулю), это означает, что наибольшее значение функции $f(n) = \frac{3}{n}$ достигается на границах области определения.

Область определения $n$ - натуральное число, значит $n$ должно быть одним из натуральных делителей числа 60 (за исключением 1, так как в этом случае $f(n)$ будет равно 3, что меньше максимального значения).

Натуральные делители числа 60: 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

Теперь вычислим $f(n)$ для каждого делителя:

$f(2) = \frac{3}{2} = 1.5$, $f(3) = \frac{3}{3} = 1$, $f(4) = \frac{3}{4} = 0.75$, $f(5) = \frac{3}{5} = 0.6$, $f(6) = \frac{3}{6} = 0.5$, $f(10) = \frac{3}{10} = 0.3$, $f(12) = \frac{3}{12} = 0.25$, $f(15) = \frac{3}{15} = 0.2$, $f(20) = \frac{3}{20} = 0.15$, $f(30) = \frac{3}{30} = 0.1$, $f(60) = \frac{3}{60} = 0.05$.

Таким образом, наибольшее значение функции $f(n) = \frac{3}{n}$ от числа 60 будет равно 1.5, и оно достигается при $n = 2$.