Question

Исследование функции и построение графика y=x^2/(x-2)^2

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для исследования функции и построения графика $y = \frac{x^2}{(x-2)^2}$, давайте последовательно выполним следующие шаги:

1. Найдем область определения функции, то есть значения $x$, для которых функция определена.
2. Выясним поведение функции при $x \to \pm \infty$ и $x \to 2$.
3. Найдем точки пересечения с осями координат.
4. Найдем значения функции в точке экстремума, если таковая имеется.
5. Изучим поведение функции при изменении знака аргумента.
6. Построим график.

Давайте начнем:

1. Область определения функции: Для того чтобы функция была определена, знаменатель $(x-2)^2$ не должен быть равен нулю, так как деление на ноль неопределено. Таким образом, область определения функции - все значения $x$, кроме $x = 2$.

2. Поведение функции при $x \to \pm \infty$ и $x \to 2$: При $x \to \pm \infty$, $(x-2)^2$ будет стремиться к бесконечности, и тогда $\frac{x^2}{(x-2)^2}$ будет также стремиться к бесконечности. Когда $x$ стремится к 2, значение знаменателя $(x-2)^2$ стремится к нулю, что делает весь выражение неопределенным.

3. Точки пересечения с осями координат: Чтобы найти точки пересечения с осями координат, решим уравнение $y = 0$ и найдем корни: $\frac{x^2}{(x-2)^2} = 0$ $x^2 = 0$ (так как дробь равна нулю только если числитель равен нулю, а здесь знаменатель не может быть равен нулю) $x = 0$

   Таким образом, функция пересекает ось x в точке (0, 0).

4. Точка экстремума: Для нахождения точки экстремума, найдем производную функции и приравняем её к нулю: $y = \frac{x^2}{(x-2)^2}$ $y' = \frac{2x(x-2)^2 - x^2 \cdot 2(x-2)}{(x-2)^4}$ $y' = \frac{2x(x-2) \left( (x-2) - x \right)}{(x-2)^4}$ $y' = \frac{2x(x-2)(-2)}{(x-2)^4}$ $y' = \frac{-4x}{(x-2)^3}$

   Теперь приравняем $y'$ к нулю и найдем значения $x$: $\frac{-4x}{(x-2)^3} = 0$ $-4x = 0$ $x = 0$

   Таким образом, у нас есть стационарная точка (0, 0).

5. Знак функции в интервалах между точками: Для анализа знака функции рассмотрим интервалы: $(- \infty, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, + \infty)$.

   • При $x < 0$: Числитель $x^2$ положителен, а знаменатель $(x-2)^2$ положителен (так как $x < 2$ и $(x-2)$ будет отрицательным). Значит, $\frac{x^2}{(x-2)^2}$ положителен.

   • При $0 < x < 2$: Числитель $x^2$ положителен, а знаменатель $(x-2)^2$ положителен. Значит, $\frac{x^2}{(x-2)^2}$ положителен.

   • При $x > 2$: Числитель $x^2$ положителен, а знаменатель $(x-2)^2$ положителен. Значит, $\frac{x^2}{(x-2)^2}$