Question

а) Имеется 7 дынь. Любые две вместе весят больше 2кг. Докажите, что все 7дынь вместе весят более 7 кг. б) Имеется 7 дынь. Любые 5 вместе весят более 5 кг. Докажите, что все 7 дынь вместе весят больше 7 кг.

Answer 1

а)2÷2=1(кг)-1 дыня.

1×7=7(кг)-7 дынь.

б)5÷5=1(кг)-1 дыня.

1×7=7(кг)-7 дынь.

Answer 2

а) Допустим, что каждые две дыни вместе весят больше 2 кг. Обозначим вес каждой дыни через $w_1, w_2, \ldots, w_7$.

Рассмотрим первые две дыни: $w_1 + w_2 > 2$ (по условию). Теперь добавим к этому неравенству третью дыню: $w_1 + w_2 + w_3 > 2 + w_3$.

Заметим, что таким образом мы можем продолжить, добавляя каждую следующую дыню:

$$\begin{align*} w_1 + w_2 + w_3 &> 2 + w_3 \\ w_1 + w_2 + w_3 + w_4 &> 2 + w_3 + w_4 \\ &\vdots \\ w_1 + w_2 + w_3 + w_4 + w_5 + w_6 + w_7 &> 2 + w_3 + w_4 + w_5 + w_6 + w_7 \end{align*}$$

Теперь объединим все неравенства:

$$w_1 + w_2 + w_3 + w_4 + w_5 + w_6 + w_7 > 2 + w_3 + w_4 + w_5 + w_6 + w_7$$

Заметим, что на правой стороне стоит сумма весов любых пяти дынь. По условию, любые пять вместе весят более 5 кг, т.е., $w_3 + w_4 + w_5 + w_6 + w_7 > 5$. Таким образом, можно упростить неравенство:

$$w_1 + w_2 + w_3 + w_4 + w_5 + w_6 + w_7 > 2 + 5 = 7$$

Таким образом, мы доказали, что все семь дынь вместе весят более 7 кг.

б) По условию, любые пять дынь вместе весят более 5 кг. Обозначим вес каждой дыни через $w_1, w_2, \ldots, w_7$.

Рассмотрим первые пять дынь: $w_1 + w_2 + w_3 + w_4 + w_5 > 5$ (по условию). Теперь добавим к этому неравенству шестую и седьмую дыню:

$$w_1 + w_2 + w_3 + w_4 + w_5 + w_6 + w_7 > 5 + w_6 + w_7$$