Question

Два пешехода вышли друг другу навстречу, один из А в Б, другой из Б в А. Каждый шёл с постоянной скоростью, и, придя в противоположный пункт, немедленно разворачивался и шёл назад. Первый раз они встретились в 12 км от Б, втором раз - в 6 км от А через 6 часов после первой встречи. Найдите расстояние от А до Б и скорости обоих туристов.

Answer 1

Два пешехода вышли друг другу навстречу, один из А в Б, другой из Б в А. Каждый шёл с постоянной скоростью, и, придя в противоположный пункт, немедленно разворачивался и шёл назад. Первый раз они встретились в 12 км от Б, втором раз - в 6 км от А через 6 часов после первой встречи. Найдите расстояние от А до Б и скорости обоих туристов.

Answer 2

Давайте обозначим расстояние от точки А до точки Б за D (в километрах). Пусть скорость первого пешехода (идущего из А в Б) будет V1 (в километрах в час), а скорость второго пешехода (идущего из Б в А) - V2 (в километрах в час).

В момент первой встречи они вместе прошли расстояние D (туда и обратно), то есть каждый прошел D/2 километров.

Зная, что скорость равна расстоянию поделенному на время, можно записать следующие уравнения:

1. Уравнение первой встречи: Для первого пешехода (идущего из А в Б): V1 = D / 2t, где t - время первой встречи.

Для второго пешехода (идущего из Б в А): V2 = D / 2t.

2. Уравнение второй встречи: Через 6 часов после первой встречи каждый пешеход прошел по D километров, и каждый прошел еще 6 километров до встречи, т.е. каждый прошел в общей сложности 6 + D километров.

Для первого пешехода (идущего из А в Б): V1 = (6 + D) / 6, где 6 - это время между первой и второй встречей.

Для второго пешехода (идущего из Б в А): V2 = (6 + D) / 6.

Теперь у нас есть две системы уравнений:

1. V1 = D / 2t
2. V1 = (6 + D) / 6

Решим эту систему уравнений:

Из уравнения 1 получим: D = 2t * V1

Подставим это значение в уравнение 2: V1 = (6 + 2t * V1) / 6

Разрешим уравнение относительно V1: 6 * V1 = 6 + 2t * V1 6 * V1 - 2t * V1 = 6 V1(6 - 2t) = 6 V1 = 6 / (6 - 2t)

Теперь, зная V1, можем найти D: D = 2t * V1 D = 2t * (6 / (6 - 2t)) D = 12t / (6 - 2t)

Теперь найдем значения для t и D из уравнения второй встречи:

V1 = (6 + D) / 6 V1 = (6 + 12t / (6 - 2t)) / 6 6V1 = 6 + 12t / (6 - 2t)

Теперь подставим найденное значение V1:

6(6 / (6 - 2t)) = 6 + 12t / (6 - 2t) 36 / (6 - 2t) = 6 + 12t / (6 - 2t)

Умножим обе стороны на (6 - 2t), чтобы избавиться от знаменателя:

36 = (6 + 12t) 36 = 6 + 12t

12t = 30 t = 30 / 12 t = 2.5 часа

Теперь можем найти D:

D = 12t / (6 - 2t) D = 12 * 2.5 / (6 - 2 * 2.5) D = 30 / (6 - 5) D = 30 км

Таким образом, расстояние от А до Б составляет 30 км.

Теперь найдем скорости V1 и V2:

V1 = 6 / (6 - 2t) V1 = 6 / (6 - 2 * 2.5) V1 = 6 / (6 - 5) V1 = 6 км/ч

V2 = (6 + D) / 6 V2 = (6 + 30) / 6 V2 = 36 / 6 V2 = 6 км/ч

Таким образом, скорость первого пешехода V1 равна 6 км/ч, а скорость второго пешехода V2 также равна 6 км/ч.