Question

1) Докажите теорему о высоте, проведённой из вершины прямого угла на гипотенузу (стр.141), записав отношение соответствующих сторон, если ΔADC ~ ΔCDB. 2) Докажите равенство отношения соответствующих сторон записав их из того, что ΔABC ~ ΔACD и ΔABC ~ ΔCBD.​

Answer 1

Відповідь:

1 Высота, проведённая из вершины прямого угла на гипотенузу, есть средняя пропорциональная между отрезками гипотенузы, а каждый катет есть среднее пропорциональное между всей гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу. Доказательство. Вот наш прямоугольный треугольник ABC, вот его гипотенуза AB, вот высота CH, проведённая из вершины прямого угла на гипотенузу. И вот отрезки, на которые высота делит гипотенузу: AH и BH. И нам надо доказать, что высота — это среднее пропорциональное между отрезками гипотенузы, то есть AH/CH = CH/BH, доказать, что каждый катет — это среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу, то есть AB/AC=AC/AH и AB/BC=BC/BH. Все эти три равенства следуют из подобия трёх изображённых треугольников ▲ACH, ▲BCH и исходного треугольника ▲ABC.

2

Покрокове пояснення:

Answer 2

1. Дано, что треугольники ΔADC и ΔCDB подобны (обозначим это как ΔADC ~ ΔCDB). Это значит, что соответствующие углы этих треугольников равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Пусть h - высота, проведенная из вершины прямого угла D на гипотенузу AC треугольника ΔADC. Тогда можно обозначить следующие длины сторон:

AC - гипотенуза треугольника ΔADC AD - катет треугольника ΔADC DC - катет треугольника ΔADC DB - катет треугольника ΔCDB CB - гипотенуза треугольника ΔCDB

Из подобия треугольников знаем, что:

AD/DC = AC/DB

Теперь рассмотрим ΔABC ~ ΔACD и ΔABC ~ ΔCBD (по условию 2). Это также означает, что соответствующие углы этих треугольников равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Пусть h' - высота, проведенная из вершины B на гипотенузу AC треугольника ΔABC. Обозначим следующие длины сторон:

AC - гипотенуза треугольника ΔABC AB - катет треугольника ΔABC BC - катет треугольника ΔABC AD - катет треугольника ΔACD BD - катет треугольника ΔCBD

Тогда из подобия треугольников ΔABC ~ ΔACD и ΔABC ~ ΔCBD, мы имеем:

AB/BC = AC/AD AB/BC = AC/BD

Теперь, объединим оба уравнения:

AC/AD = AC/BD

Поскольку сторона AC является общей для треугольников ΔADC и ΔCDB (они подобны по условию 1), то можно сократить их:

AD = BD

Таким образом, длины отрезков AD и BD равны, что говорит о том, что высота, проведенная из вершины прямого угла D на гипотенузу AC треугольника ΔADC равна высоте, проведенной из вершины B на гипотенузу AC треугольника ΔABC.