Question

В прямоугольный треугольник с катетами, равными 2 см и 4 см, впишите прямоугольник наибольшей площади со сторонами, параллельными катетам треугольника.

Answer 1

Надо определить функцию зависимости площади заданного прямоугольника от величины его сторон на катетах.

Пусть х - сторона на катете 2, а у - сторона на катете 4.

Из подобия треугольников с остатками сторон на катетах получаем:

у/(2 - х) = (4 - у)/х.

ху = (2 - х)(4 - у) = 8 - 4х - 2у + ху.

8 - 4х - 2у = 0.

Отсюда находим зависимость у от х:   у = 4 - 2х.

Получаем формулу площади искомого прямоугольника:

S = xy = x(4 - 2x) = 4x - 2x².

Производная S' = 4 - 4x = 0. Это экстремум функции. х = 4/4 = 1.

Определяем знаки производной левее и правее точки х = 1.

х =      0,5       1        1,5

y' =      2         0         -2.     Как видим, в точке х = 1 максимум.

у = 4 - 2*1 = 4 - 2 = 2.

Ответ: вписанный прямоугольник имеет стороны 1 и 2.

Answer 2

Чтобы найти прямоугольник наибольшей площади, вписанный в прямоугольный треугольник с катетами 2 см и 4 см, следует рассмотреть следующие шаги:

1. Нарисуйте прямоугольный треугольник и обозначьте катеты.
2. Рассмотрим две стороны прямоугольника: x (параллельна катету длиной 2 см) и y (параллельна катету длиной 4 см).
3. Очевидно, что прямоугольник должен быть вписан в треугольник таким образом, чтобы две вершины лежали на катетах, а две другие вершины - на гипотенузе треугольника.

Теперь найдем значения x и y для прямоугольника наибольшей площади.

По теореме подобных треугольников:

y / 2 = 4 / 2, y = 2.

Теперь найдем значение x:

x / 4 = 2 / 4, x = 2.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 2 см и 2 см. Площадь прямоугольника равна:

Площадь = x * y = 2 см * 2 см = 4 см².

Таким образом, прямоугольник с размерами 2 см х 2 см имеет наибольшую площадь, вписанный в данный прямоугольный треугольник.