Question

Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,6. Какова вероятность того, что цель будет поражена при трёх выстрелах? Сколько нужно сделать выстрелов, чтобы вероятность поражения цели была не меньше 0,99?

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Вероятность попадания при одном выстреле: p = 0,6.

Вероятность не попасть: q = 1 - p = 1 - 0,6 = 0,4.

1) По формуле Бернулли вероятность не попасть ни разу P(A`):

n = 3 - число попыток, k = 0 - число попаданий:

P(A`) = C(n,k) · p^n · q^k = C(n,0) · 0,6^0 · 0,4^3 = 1 · 1 · 0,4^3 = 0,064.

Попасть хотя бы один раз - это противоположное событие P(A). Его вероятность равна:  

P(A) = 1 - P(A`) = 1 - 0,064 = 0,936.

2) Найдём сколько нужно сделать выстрелов, чтобы вероятность попадания была 0,99.

1 - q^k ≥ 0,99;

q^k ≤ 0,01;

0,4^k ≤ 0,01;

k = 5 ==> 0,4^5 = 0,0102 > 0,01; P = 0,9898.

k = 6 ==> 0,4^6 = 0,0041 < 0,01; P = 0,9959.

k = 6.

Ответ: Вероятность того, что цель будет поражена при трёх выстрелах P(A)= 0,936. Нужно сделать 6 выстрелов, чтобы вероятность попадания была не меньше 0,99.

Answer 2

Для решения этой задачи, предположим, что вероятность поражения цели при одном выстреле равна p = 0,6.

1. Вероятность поражения цели при трёх выстрелах: Для каждого выстрела вероятность попадания равна p = 0,6, а вероятность промаха (не попадания) равна q = 1 - p = 1 - 0,6 = 0,4. Так как каждый выстрел является независимым событием, вероятность поражения цели при трёх выстрелах можно найти с помощью биномиального распределения.

Вероятность поражения цели при трёх выстрелах (x = 3) равна: P(X = 3) = C(3, 3) * p^3 * q^(3-3) = p^3 = 0,6^3 ≈ 0,216.

Таким образом, вероятность того, что цель будет поражена при трёх выстрелах, составляет около 0,216 или 21,6%.

2. Количество выстрелов для вероятности поражения цели не меньше 0,99: Теперь мы хотим найти минимальное количество выстрелов (n), чтобы вероятность поражения цели была не меньше 0,99.

Вероятность поражения цели после n выстрелов можно выразить следующим образом: P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (q^n) = 1 - (0,4)^n ≥ 0,99.

Для решения неравенства найдем минимальное значение n: 1 - (0,4)^n ≥ 0,99 (0,4)^n ≤ 0,01

Используя логарифмы, найдем значение n: n * ln(0,4) ≤ ln(0,01) n ≥ ln(0,01) / ln(0,4)

n ≥ 4,82

Таким образом, нужно сделать не менее 5 выстрелов, чтобы вероятность поражения цели была не меньше 0,99.