Question

Найти производные функций 1) f(x)=x³-3x²+4x-5 2) f(x)=(x+1)√x-1 3) f(x)=sin²x

Answer 1

$1)\; \; f(x)=x^3-3x^2+4x-5\; \; ,\; \; f'(x)=3x^2-6x+4\\\\2)\; \; f(x)=(x+1)\cdot \sqrt{x-1}\\\\f'(x)=\sqrt{x-1}+(x+1)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}}\\\\3)\; \; f(x)=sin^2x\; \; ,\; \; \; (u^2)'=2u\cdot u'\; \; ,\; \; u=sinx\; ;\\\\f'(x)=2\, sinx\cdot (sinx)'=2\, sinx\cdot cosx=sin2x$

Answer 2

Давайте найдем производные данных функций по переменной x:

1. $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 5$

Для нахождения производной функции, используем степенное правило дифференцирования:

$\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}$

Применим это правило к каждому члену функции:

$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(4x) - \frac{d}{dx}(5)$

$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$

2. $f(x) = (x+1)\sqrt{x-1}$

Здесь используем правило произведения функций:

$\frac{d}{dx}[u(x) \cdot v(x)] = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

где $u(x) = (x + 1)$ и $v(x) = \sqrt{x - 1}$

$u'(x) = \frac{d}{dx}(x + 1) = 1$

$v'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x - 1}) = \frac{1}{2\sqrt{x - 1}}$

Теперь вычислим производную функции f(x):

$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

$f'(x) = 1 \cdot \sqrt{x - 1} + (x + 1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x - 1}}$

$f'(x) = \sqrt{x - 1} + \frac{x + 1}{2\sqrt{x - 1}}$

3. $f(x) = \sin^2(x)$

Здесь используем цепное правило для функции $\sin^2(x) = (\sin(x))^2$:

$\frac{d}{dx}(\sin^2(x)) = 2 \cdot \sin(x) \cdot \frac{d}{dx}(\sin(x))$

Также нам понадобится производная синуса:

$\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$