Question

Найдите интервал выпуклости и вогнутости функции y=x^4-6x^2 +4​

Answer 1

Ответ:

Функция вогнута при x ∈ (-∞; 0) ∪ (1; +∞); функция выпукла при х ∈ (0; 1)

Пошаговое объяснение:

y = x^4 - 6x^2 + 4​

y'' = 12x^2 - 12x = 12x(x - 1)

    +             -             +

-----------o----------o---------->

            0           1              x

Answer 2

Чтобы найти интервалы выпуклости и вогнутости функции $y = x^4 - 6x^2 + 4$, следует выполнить несколько шагов:

1. Найдите первую и вторую производные функции.
2. Решите уравнение $f''(x) = 0$ для определения точек перегиба.
3. Анализируйте знаки второй производной на интервалах между точками перегиба, чтобы определить интервалы выпуклости и вогнутости.

Шаг 1: Найдем первую производную функции $y = x^4 - 6x^2 + 4$: $f'(x) = 4x^3 - 12x$.

Теперь найдем вторую производную: $f''(x) = 12x^2 - 12$.

Шаг 2: Точки перегиба будут определены условием $f''(x) = 0$: $12x^2 - 12 = 0$.

Решим уравнение: $12x^2 = 12$, $x^2 = 1$, $x = \pm 1$.

Таким образом, у нас есть две точки перегиба: $x = -1$ и $x = 1$.

Шаг 3: Теперь анализируем знаки $f''(x)$ на интервалах между точками перегиба.

1. Для $x < -1$: Выберем, например, $x = -2$, подставим в $f''(x)$: $f''(-2) = 12(-2)^2 - 12 = 48 > 0$.

2. Для $-1 < x < 1$: Выберем, например, $x = 0$, подставим в $f''(x)$: $f''(0) = 12(0)^2 - 12 = -12 < 0$.

3. Для $x > 1$: Выберем, например, $x = 2$, подставим в $f''(x)$: $f''(2) = 12(2)^2 - 12 = 48 > 0$.

Таким образом, на интервалах $(- \infty, -1)$ и $(1, + \infty)$ функция $y = x^4 - 6x^2 + 4$ выпукла вверх, а на интервале $(-1, 1)$ - вогнута вниз.

Итак, интервалы выпуклости: $(- \infty, -1)$ и $(1, + \infty)$. Интервал вогнутости: $(-1, 1)$.