Question

Известно, что ab = 1 и (2a + b)(a + 2b) = 2019. Тогда a² + b² равно (А) 1007 (Б) 1008 (В) 1009 (Г) 2014 (Д) 2016

Answer 1

(2a + b)(a + 2b) = 2019

Раскроем скобки и получим:

2а² + 4ab + ab + 2b² = 2019

2а² + 5ab + 2b² = 2019

Так как ab = 1, то получаем:

2а² + 5 + 2b² = 2019

2а²  + 2b² = 2014

Разделим обе части уравнения на 2:

а²  + b² = 1007

Ответ: 1007

Answer 2

Для решения этой задачи, начнем с известных нам уравнений:

1. ab = 1
2. (2a + b)(a + 2b) = 2019

Мы хотим найти значение a² + b². Для этого нам нужно выразить a² + b² через известные уравнения.

Воспользуемся формулой квадрата суммы:

(2a + b)(a + 2b) = 2a(a + 2b) + b(a + 2b) = 2a² + 5ab + 2b² = 2019

Теперь заменим ab на 1, так как нам дано, что ab = 1:

2a² + 5(1) + 2b² = 2019

Упростим:

2a² + 2b² = 2019 - 5

2a² + 2b² = 2014

Теперь нам нужно найти a² + b², а не 2a² + 2b². Для этого поделим обе стороны уравнения на 2:

a² + b² = 2014 / 2

a² + b² = 1007

Ответ: (А) 1007