Question

Известно, что ab=1 и (2a + b)(a + 2b)=2019. Тогда a²+b² равно: А) 2016 Б)2014 В)1009 Г)1008 Д)1007Желательно с объяснением, заранее спасибо!​

Answer 1

Ответ:2016

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться системой уравнений, состоящей из двух уравнений:

ab = 1 ...(1) (2a + b)(a + 2b) = 2019 ...(2)

Из первого уравнения можно выразить одну из переменных через другую. Для этого мы можем поделить обе части уравнения на b (при условии, что b не равно нулю):

a = 1/b

Теперь мы можем заменить a во втором уравнении на 1/b:

(2(1/b) + b)(1/b + 2b) = 2019

Раскроем скобки и упростим выражение:

(2/b + b)(1/b + 2b) = 2019 (2 + b^2)(1 + 2b^2) = 2019

Раскроем скобки и получим квадратные уравнения:

2 + 2b^2 + b^2 + 2b^4 = 2019 2b^4 + 3b^2 - 2017 = 0

Теперь мы можем решить это уравнение относительно b^2, используя квадратное уравнение. Пусть x = b^2, тогда:

2x^2 + 3x - 2017 = 0

Решим это уравнение с помощью формулы дискриминанта:

D = b^2 - 4ac D = 3^2 - 4(2)(-2017) D = 9 + 16136 D = 16145

Так как D > 0, у нас есть два различных корня. Пусть x1 и x2 - корни этого уравнения. Мы можем использовать формулу для нахождения корней:

x1 = (-b + √D) / 2a x2 = (-b - √D) / 2a

Подставим значения:

x1 = (-3 + √16145) / (2 * 2) x2 = (-3 - √16145) / (2 * 2)

После вычислений, мы получаем:

x1 ≈ 39.5284 x2 ≈ -52.8999

Так как x = b^2, b^2 не может быть отрицательным числом, следовательно, x2 отбрасывается.

Теперь нам нужно найти значения a^2 + b^2. Мы знаем, что a = 1/b, поэтому:

a^2 + b^2 = (1/b)^2 + b^2 a^2 + b^2 = 1/b^2 + b^2

Подставим значение x1 = b^2:

a^2 + b^2 = 1/x1 + x1

Подставим значение x1 ≈ 39.5284:

a^2 + b^2 ≈ 1/39.5284