Question

График функции y=x^2-2x+4; x∈[-1;4] Найдите точки, опишите свойства1)Область определения2)Область значения3)На каких промежутках возрастает и убывает4)Четная или нечетная

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

График функции y=x²-2x+4; x∈[-1;4]

1)Область определения

D(y)=R

2)Область значения

найдем координату вершины параболы

х=-b/2a=-(-2)/2=1

y(1)=1-2+4=3 ; вершина в точке (1;3)

E(y)=[3;+∞)

3)На каких промежутках возрастает и убывает

y'=2x-2=2(x-1)

при х<1  y'<0 y убывает

при х>1  y'>0 y возрастает

4)Четная или нечетная

-y(x)=-x²+2x-4

y(-x)=(-x)²-2(-x)+4=x²+2x+4

y(-x)≠y(x) не является четной

y(-x)≠-y(x) не является нечетной

у(х) функция общего вида

точка пересечения с осью ОУ

х=0 ; у=4   (0;4) точка симметричная точке (0;4)  относительно оси симметрии х=1 (2;4)

точки пересечения с осью ОХ

дискриминант d=4-16=-12 точек пересечения с осью ОХ нет

Answer 2

Для анализа функции y = x^2 - 2x + 4 на заданном интервале x ∈ [-1, 4], давайте рассмотрим каждый из указанных пунктов:

1. Область определения: Область определения функции - это множество всех допустимых значений переменной x. В данном случае, у нас функция является квадратичной функцией, что означает, что она определена для всех действительных чисел. Таким образом, область определения данной функции - это множество всех действительных чисел: D = (-∞, +∞).

2. Область значения: Областью значений функции называется множество всех возможных значений функции y при всех значениях переменной x из её области определения. Для квадратичной функции y = x^2 - 2x + 4, она имеет минимальное значение, так как у коэффициента при квадрате x положительный (1), и это значение равно вершине параболы. Чтобы найти минимальное значение функции, рассмотрим вершину параболы, которая находится по формуле x = -b/(2a), где a и b - коэффициенты при x^2 и x соответственно.

a = 1, b = -2 x_vershina = -(-2) / (2*1) = 2

Теперь подставим найденное значение x в функцию, чтобы найти y: y_vershina = 2^2 - 2*2 + 4 = 4

Таким образом, минимальное значение функции равно 4. Областью значений функции являются все действительные числа больше или равные 4: R = [4, +∞).

3. Промежутки возрастания и убывания: Для определения промежутков возрастания и убывания, нам нужно проанализировать знак производной функции. Если производная положительна, то функция возрастает, если производная отрицательна - функция убывает.

Производная функции y = x^2 - 2x + 4: y' = 2x - 2

Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю и решим уравнение: 2x - 2 = 0 2x = 2 x = 1

Теперь построим таблицу знаков производной для интервала x ∈ [-1, 4]:

Copy code
x < 1   |   x = 1   |   x > 1

---

y' < 0 | y' = 0 | y' > 0 убывает | экстр. | возрастает

Таким образом, функция убывает на интервале (-∞, 1) и возрастает на интервале (1, +∞). На точке x = 1 функция имеет локальный минимум.

4. Четная или нечетная: Функция y = x^2 - 2x + 4 является параболой, которая симметрична относительно вертикальной прямой x = 1/2, так как коэффициент при x (т.е., -2) является четным числом. Это означает, что функция симметрична относительно оси y и, следовательно, является четной функцией.