Question

З точки А до площини проведено дві похилі AB та AC, які дорівнюють 3√2 см кожна, і перпендикуляр АО. Кут між похилими 60°, а кут між їхніми проекціями – прямий. Знайдіть довжину перпендикуляра АО.

Answer 1

Розв'язок задачі у вкладенні

Answer 2

Давайте розв'яжемо задачу за допомогою геометрії. Спростимо задачу і позначимо дані:

AB = AC = 3√2 см (довжина похилих) ∠BAC = 60° (кут між похилими) ∠BOC = 90° (прямий кут між проекціями)

Позначимо точку, де перетинаються перпендикуляр АО та площина BAC, як точку О.

Тепер давайте звернемо увагу на прямокутний трикутник AOB. У цьому трикутнику ми знаємо довжини двох катетів: AB = AC = 3√2 см. Ми хочемо знайти довжину гіпотенузи AO.

Застосуємо тригонометричний співвідношення для прямокутних трикутників: гіпотенуза квадрат дорівнює сумі квадратів катетів.

AO^2 = AB^2 + BO^2

Ми знаємо, що BO = CO, тому AO^2 = AB^2 + CO^2.

Тепер звернемо увагу на трикутник AOC. Ми знаємо довжину AC = 3√2 см, кут між похилою AC та перпендикуляром AO (тобто кут АОС, де S - точка перетину AC з площиною BAC) дорівнює 90°, а також кут між похилою AC та проекцією CO на площину BAC (тобто кут АOC) дорівнює 60°.

Тепер ми можемо застосувати тригонометричні співвідношення для трикутника AOC. Зокрема, співвідношення косинусів:

cos(∠AOC) = CO / AC

cos(60°) = CO / 3√2

1/2 = CO / 3√2

CO = 3√2 / 2

Тепер ми можемо знайти AO:

AO^2 = AB^2 + CO^2

AO^2 = (3√2)^2 + (3√2 / 2)^2

AO^2 = 18 + 9/4

AO^2 = 81/4

AO = √(81/4) = 9/2

Таким чином, довжина перпендикуляра АО дорівнює 9/2 см або 4.5 см.