Question

Найти полный дифференциал функции z= x²y+4y Помогите пожалуйста

Answer 1

$\frac{dz}{dx} =2xy\\\frac{dz}{dy} =x^2+4\\dz=(2xy)dx+(x^2+4)dy$

Answer 2

Конечная цель - найти полный дифференциал функции $z = x^2y + 4y$. Полный дифференциал определяется как сумма всех частных производных функции по каждой из независимых переменных, умноженных на соответствующие приращения переменных.

Для функции $z = x^2y + 4y$ у нас есть две независимые переменные: $x$ и $y$. Теперь найдем частные производные этой функции по этим переменным:

Частная производная по $x$ (при постоянном $y$): $\frac{\partial z}{\partial x} = 2xy$.

Частная производная по $y$ (при постоянном $x$): $\frac{\partial z}{\partial y} = x^2 + 4$.

Теперь запишем полный дифференциал $dz$ функции $z$:

$dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$.

Подставим найденные значения частных производных:

$dz = (2xy)dx + (x^2 + 4)dy$.

Таким образом, полный дифференциал функции $z = x^2y + 4y$ равен $dz = (2xy)dx + (x^2 + 4)dy$.