Question

Помогите пожалуйста! Нужно превратить числа 0,(42); 1 3/7*0,2(3); 0,(63)/1,(18)*91 в дроби, используя бесконечную спадную геометрическую прогрессию. Даю 31 бал ​

Answer 1

1.

$\displaystyle\tt 0.(42)=0.42+0.0042+0.000042+...\\b_1=0.42; \ \ b_2=0.0042\\\\q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{0.0042}{0.42}=0.01\\\\S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0.42}{1-0.01}=\frac{0.42}{0.99}=\frac{42}{99}=\frac{14}{33}\\\\\bold{0.(42)=\frac{14}{33}}$

Ответ: 14/33

2.

$\displaystyle\tt 0.2(3)=0.2+0.03+0.003+0.0003+...\\b_1=0.03; \ \ b_2=0.003\\\\q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{0.003}{0.03}=0.1\\\\S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0.03}{1-0.1}=\frac{0.03}{0.9}=\frac{3}{90}=\frac{1}{30}\\\\\bold{0.2(3)=0.2+\frac{1}{30}=\frac{2}{10}+ \frac{1}{30}=\frac{7}{30}}\\\\\\ 1\frac{3}{7}\cdot\frac{7}{30}=\frac{10}{7}\cdot\frac{7}{30}=\frac{1}{3}$

Ответ: 1/3

3.

$\displaystyle\tt 0.(63)=0.63+0.0063+0.000063+...\\b_1=0.63; \ \ b_2=0.0063\\\\q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{0.0063}{0.63}=0.01\\\\S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0.63}{1-0.01}=\frac{0.63}{0.99}=\frac{63}{99}=\frac{7}{11}\\\\\bold{0.(63)=\frac{7}{11}} \\\\\\ 1.(18)=1+0.18+0.0018+0.000018+...\\b_1=0.18; \ \ b_2=0.0018\\\\q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{0.0018}{0.18}=0.01\\\\S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0.18}{1-0.01}=\frac{0.18}{0.99}=\frac{18}{99}=\frac{2}{11}\\\\\bold{1.(18)=1+\frac{2}{11}=\frac{13}{11}}$

$\displaystyle\tt\frac{0.(63)}{1.(18)}\cdot91=\frac{7}{11}:\frac{13}{11}\cdot91=\frac{7}{11}\cdot\frac{11}{13}\cdot\frac{91}{1}=7\cdot7=49$

Ответ: 49.

Answer 2

Для преобразования этих чисел в дроби с использованием бесконечной спадающей геометрической прогрессии, нам нужно представить каждое число как сумму бесконечного ряда. Для этого воспользуемся формулой для суммы бесконечной геометрической прогрессии:

Если у нас есть бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом a и знаменателем r (|r| < 1), то сумма этой прогрессии равна S = a / (1 - r).

1. Преобразуем 0,(42) в дробь: Пусть x = 0,(42). Умножим x на 100, чтобы избавиться от десятичной запятой: 100x = 42,(42). Теперь вычтем x из 100x: 100x - x = 42,(42) - 0,(42) 99x = 42 x = 42 / 99 x = 14 / 33

2. Преобразуем 1 3/7 * 0,(2) в дробь: Пусть y = 1 3/7 * 0,(2). Выразим 1 3/7 как неправильную дробь: 1 3/7 = (7 + 3) / 7 = 10 / 7. Теперь умножим y на 10, чтобы избавиться от десятичной запятой: 10y = 2,(2). Теперь вычтем y из 10y: 10y - y = 2,(2) - 0,(2) 9y = 2 y = 2 / 9

3. Преобразуем 0,(63)/1,(18)*91 в дробь: Пусть z = 0,(63)/1,(18)*91. Умножим z на 100, чтобы избавиться от десятичных запятых: 100z = 63,(63)/118,(18)*91. Теперь выразим 1,(18) как неправильную дробь: 1,(18) = (100 + 18) / 100 = 118 / 100. Теперь выразим 91 как неправильную дробь: 91 = 91 / 1. Теперь умножим 100z на 118/100: 100z * (118/100) = (63,(63) * 91) / 1 (63,(63) * 91) = 5763,(63). Теперь выразим 5763,(63) в виде дроби: Пусть a = 5763,(63). Умножим a на 100, чтобы избавиться от десятичной запятой: 100a = 5763,(63). Теперь вычтем a из 100a: 100a - a = 5763,(63) - 63,(63) 99a = 5700 a = 5700 / 99 a = 1900 / 33.

Теперь мы можем выразить исходное число z в виде дроби: z = (1900 / 33) / 91 z = 1900 / (33 * 91) z = 1900 / 3003.

Итак, результаты преобразования чисел в дроби с использованием бесконечной спадающей геометрической прогрессии:

1. 0,(42) = 14 / 33
2. 1 3/7 * 0,(2) = 2 / 9
3. 0,(63)/1,(18)*91 = 1900 / 3003

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.