Question

Можно ли составить ожерелье из 100 бусинок синего, красного и зелёного цветов так, чтобы между любыми двумя синими бусинками была красная, между любыми двумя красными бусинками была зелёная, а между любыми двумя зелёными бусинками была синяя? Решение и пример (если невозможно - доказательство)

Answer 1

из условия задачи следует, что

синих не меньше, чем красных,

красных не меньше, чем зеленых,

зеленых не меньше, чем синих, т.е.

С≥К≥З≥С

пусть

С=К+а

К=З+б

З=С+в

складываем эти уравнения

С+К+З=К+З+С+(а+б+в)

отсюда  

а+б+в=0

и т.к. а,б,в - неотрицательные, то

а=0   б=0    в=0

а, значит,

С=К=З=n  (число бусинок каждого цвета одинаково)

Всего бусинок N=С+К+З=n+n+n=3n

N=3n  - общее число бусинок должно делиться на 3 без остатка

100 на 3 не делится без остатка

Ответ: невозможно

Answer 2

Да, возможно составить такое ожерелье. Для этого нужно рассмотреть следующую последовательность: S - К - З - S - К - З - S - К - З - ... и так далее.

Здесь S представляет синие бусинки, К - красные, а З - зелёные. Между любыми двумя синими бусинками находится красная (К), между любыми двумя красными - зелёная (З), и между любыми двумя зелёными - синяя (S).

Пример ожерелья с 10 бусинками (S - синие, К - красные, З - зелёные): S - К - З - S - К - З - S - К - З - S

Таким образом, можно составить ожерелье с 100 бусинками, удовлетворяющее указанным условиям.