Question

оследовательность цифр строится следующим образом. Первые три цифры заданы заранее и не равны нулю Каждая цифра начиная с четвёртой — это последняя цифра суммы предыдущих трёх членов последовательности. Например: 1, 3, 8, 2, 3, 3, 8, ... а)Приведите пример такой последовательности, в которой первый ноль появляется на восьмом месте, а до этого нулей нет. б)Может ли такая последовательность начиная с некоторого момента состоять из трёх попарно различных цифр, которые повторяются периодически (в одном и том же порядке)? Ответ обоснуйте.

Answer 1

а) 8 9 5 2 6 3 1 0 одна из таких последовательностей

2) Пусть с какого-то момента последовательность имее вид а б с а б с

Рассмотрим число а+б+с:

последняя его цифра а. Это значит, что оно имеет вид 10д+а

а+б+с=10д+а, откуда с+б=10д, то есть с+б делится на 10. Аналогично доказывается, что а+с и а+б делится на 10

Отнимем числа а+с и а+б: так как они делятся на 10, то их разница тоже делится на 10. а+с-а-б=с-б

Добавим к этому числу б+с, их сумма тоже делится на 10: б+с+с-б=2с

Откуда с делится на 5. Так как с - цифра, то с равно 0 или 5. Аналогично доказывается, что а и б равны 0 или 5. Значит возможны периодические варианты, состоящие только из цифр 0 и 5. Значит такая последовательность не может состоять из ТРЕХ попарно различно цифр, повторяющихся периодически.

Ответ: не может.

Answer 2

а) Пример последовательности, в которой первый ноль появляется на восьмом месте, а до этого нулей нет:

Допустим, первые три цифры заданы заранее и не равны нулю: 1, 3, 8.

Теперь начнем строить последовательность, генерируя следующие цифры как последние цифры суммы трех предыдущих:

1, 3, 8, (1+3+8=12), (3+8+12=23), (8+12+23=43), (12+23+43=78), (23+43+78=144), (43+78+144=265), ...

Таким образом, первый ноль появляется на восьмом месте, а до этого нулей нет.

б) Такая последовательность не может состоять из трех попарно различных цифр, которые повторяются периодически в одном и том же порядке. Это происходит из-за специфики правила генерации последовательности.

При генерации последовательности мы всегда используем последние цифры суммы трех предыдущих. Это означает, что как только в последовательности появятся три одинаковые цифры подряд, они будут бесконечно повторяться, так как в дальнейшем будут использоваться только эти три цифры для генерации новых чисел.

Например, если в какой-то момент последовательности появятся три цифры, скажем, 3, 5 и 7, то дальнейшие числа будут такими: ..., 3, 5, 7, (3+5+7=15), (5+7+15=27), (7+15+27=49), (15+27+49=91), (27+49+91=167), (49+91+167=307), (91+167+307=565), (167+307+565=1039), ... и так далее.

Таким образом, как только появятся три различные цифры, они будут повторяться бесконечно, и невозможно будет вернуться к состоянию с трехкратным повторением других цифр.