Question

Найдите все значения параметра а при каждом из которых неравенство (a^2-4)x^2+2(a+2)x-1<0 выполнено при любом значении x

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Решения квадратного неравенство либо вся числовая прямая, либо отрезок, либо два отрезка. Нам подходит случай только тогда, когда решением будет вся числовая ось, это будет только в том случае когда ветви параболы направлены вниз(a<0), и нет пересечения с осью Ох(D<0)

Answer 2

Для того чтобы неравенство выполнялось при любом значении x, дискриминант квадратного трехчлена должен быть отрицательным (чтобы не было корней) и коэффициент при старшем члене (x^2) должен быть положительным.

Для уравнения (a^2 - 4)x^2 + 2(a + 2)x - 1 < 0, дискриминант будет равен D = b^2 - 4ac, где a = (a^2 - 4), b = 2(a + 2) и c = -1.

1. Дискриминант должен быть отрицательным: D < 0 (2(a + 2))^2 - 4(a^2 - 4)(-1) < 0 (2a + 4)^2 + 4(a^2 - 4) < 0 4a^2 + 16a + 16 + 4a^2 - 16 < 0 8a^2 + 16a < 0 8a(a + 2) < 0

2. Коэффициент при старшем члене (x^2) должен быть положительным: a^2 - 4 > 0 a^2 > 4 a > 2 или a < -2

Теперь объединим условия:

1. 8a(a + 2) < 0
2. a > 2 или a < -2

Рассмотрим случаи:

a > 2: При a > 2 выполняется условие 1: 8a(a + 2) < 0 Используем тестовое значение a = 3 (a + 2 = 5): 8 * 3 * 5 < 0 120 < 0 - неверно, не подходит.

a < -2: При a < -2 выполняется условие 1: 8a(a + 2) < 0 Используем тестовое значение a = -3 (a + 2 = -1): 8 * -3 * (-1) < 0 24 < 0 - верно, подходит.

Таким образом, значение параметра a, при котором неравенство выполняется при любом значении x, это a < -2.