Question

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оy фигуры, ограниченной графикамифункций . y = x^3 y=x^2

Answer 1

Ответ: π/12 единиц кубических.

Пошаговое объяснение:

Построим графики (рисунок 1).

Так как полученная фигура крутиться вокруг оси оу, выведем x из уравнений кривых:

$y=x^{2} => x=\sqrt[2]{y} \\y=x^{3} => x=\sqrt[3]{y}$

Теперь найдём объём тела вращения. Делаем следующее:

1) Так как график $x=\sqrt[3]{y}$ правее чем $x=\sqrt{y}$, то в интеграле отнимем правый график от левого графика.

2) Так как график по оси оу находиться в диапазоне [0; 1], то и пределы интегрирования будут соответствующие.

3) По формуле $V = \pi \int\limits^a_b {x^{2}(y)} \, dy$ найдём объём, учитывая, что надо отнять правый график функции от левого.

Эти шаги видно в рисунке 2.

Answer 2

Для вычисления объема тела, образованного вращением фигуры вокруг оси Oy, необходимо использовать метод цилиндрических оболочек или метод кольцевых интегралов. В данном случае, используем метод цилиндрических оболочек.

Для начала, найдем точки пересечения графиков функций y = x^3 и y = x^2:

x^3 = x^2 x^3 - x^2 = 0 x^2 (x - 1) = 0

Таким образом, точки пересечения графиков: x = 0 и x = 1.

Теперь, для нахождения объема тела, ограниченного этими функциями и осью Oy, возьмем интеграл от x = 0 до x = 1.

Объем тела V можно вычислить по следующей формуле:

V = ∫[a, b] (2π * x * f(x)) dx

где a и b - пределы интегрирования, f(x) - расстояние между графиками функций в точке x.

Так как мы вращаем фигуру вокруг оси Oy, то f(x) будет равно разности между y = x^3 и y = x^2:

f(x) = (x^3) - (x^2)

Теперь, вычислим объем:

V = ∫[0, 1] (2π * x * ((x^3) - (x^2))) dx

V = 2π * ∫[0, 1] (x^4 - x^3) dx

Теперь проинтегрируем:

V = 2π * ( (1/5 * x^5) - (1/4 * x^4) ) |[0, 1]

V = 2π * ( (1/5 * 1^5) - (1/4 * 1^4) ) - ( (1/5 * 0^5) - (1/4 * 0^4) )

V = 2π * (1/5 - 1/4)

V = 2π * (4 - 5) / 20

V = 2π * (-1/20)

V = -π/10

Таким образом, объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной графиками функций y = x^3 и y = x^2, равен -π/10 (отрицательное значение объема говорит о том, что тело находится под осью Oy).