Question

Найдите площадь фигуры ограниченной линиями у=2х²-7х+1у=0х=3х=5​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Дано: F(x) = 2*x² -7*x + 1,  y(x)=0, a = 3, b = 5.

Найти: S=? - площадь фигуры

Пошаговое объяснение:

1) Находить пределы интегрирования в этой задаче не надо - они уже заданы.

2) Площадь - интеграл разности функций. Прямая ниже параболы.

s(x) =  F(x) - y(x) = 1  -7*x + 2*x² - подинтегральная функция .

3) Интегрируем (находим первообразную) функцию и получаем:

S(x) = x  -7/2*x² + 2/3*x³

4) Вычисляем на границах интегрирования.

S(а) = S(3) =  3 - 31 1/2 + 18 = -10 1/2

S(b) = S(5) = 5 - 87 1/2 + 83 1/3 = 5/6

 S = S(5) - S(3)  =  5/6 - (-10 1/2) = 11 1/3 (ед.²) - площадь - ответ

Рисунок к задаче в приложении.

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной данными линиями, сначала нужно определить точки пересечения этих линий друг с другом.

1. Найдем точки пересечения линий у = 2х² - 7х + 1 и у = 0: Подставим у = 0 в уравнение у = 2х² - 7х + 1 и решим уравнение относительно х: 0 = 2х² - 7х + 1 Это уравнение является квадратным, и его можно решить с помощью дискриминанта.

Дискриминант (D) квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 равен D = b² - 4ac.

В нашем случае a = 2, b = -7, и c = 1: D = (-7)² - 4 * 2 * 1 = 49 - 8 = 41.

Так как D > 0, у нас есть два корня: х₁ = (7 + √41) / 4 ≈ 2.316, х₂ = (7 - √41) / 4 ≈ 0.684.

Теперь у нас есть точки пересечения линий: х₁ ≈ 2.316 и х₂ ≈ 0.684.

2. Проверим, что точки пересечения находятся внутри отрезка х=3 и х=5. Проверяем условие: 3 < х₂ < 5 и 3 < х₁ < 5. 3 < 0.684 < 5 - условие выполняется. 3 < 2.316 < 5 - условие выполняется.

Теперь мы можем рассчитать площадь фигуры между линиями у = 2х² - 7х + 1 и у = 0 на интервале х от 0.684 до 2.316.

3. Найдем площадь фигуры, используя интеграл: Площадь (S) фигуры между графиками двух функций на интервале х от а до b равна | ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx |, где f(x) и g(x) - это функции, ограничивающие фигуру.

В нашем случае: f(x) = 2х² - 7х + 1, g(x) = 0.

Таким образом, площадь фигуры между графиками будет равна: | ∫[0.684, 2.316] (2х² - 7х + 1 - 0) dx |

Вычислим интеграл: ∫(2х² - 7х + 1) dx = (2/3)х³ - (7/2)х² + х + C,

Где С - константа интегрирования.

Теперь вычислим определенный интеграл на интервале [0.684, 2.316]:

S = |(2/3) * 2.316³ - (7/2) * 2.316² + 2.316 - ((2/3) * 0.684³ - (7/2) * 0.684² + 0.684)| ≈ 1.572.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2х² - 7х + 1 и у = 0 на интервале х от 0.684 до 2.316, составляет примерно 1.572 квадратных единиц (единицы площади).