Question

Комбинаторика. Желательно расписать). На плоскости задано 15 точек,из которых 4 лежат на одно прямой, а кроме них никакие 3 точки не лежат на одной прямой, Сколько существует треугольников, вершинами которых являются данные точки?

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Если бы среди всех  15 точек не было точек на одной прямой, то было бы С₁₅³ треугольников. Вычтем С₄³ комбинаций, которые образуются 4 точками, лежащими на одной прямой:

С₁₅³ - С₄³=15!/(12!*3!)-4=13*35-4=451

Answer 2

Для решения этой задачи по комбинаторике, давайте разобьем ее на несколько шагов.

1. Выбор трех точек из 15 для образования треугольника.
2. Проверка, что выбранные точки не лежат на одной прямой.

Шаг 1: Выбор трех точек из 15. Для этого используем сочетания (combinations), обозначаемые как C(n, k), где n - общее количество элементов, k - количество элементов, которые нужно выбрать. В нашем случае n = 15 (общее количество точек), k = 3 (требуемое количество точек для образования треугольника).

C(15, 3) = 15! / (3! * (15 - 3)!) = 15! / (3! * 12!) = (15 * 14 * 13) / (3 * 2 * 1) = 455.

Таким образом, у нас есть 455 способов выбрать тройку точек.

Шаг 2: Проверка, что выбранные точки не лежат на одной прямой. У нас уже есть 4 точки, которые лежат на одной прямой. Чтобы образовать треугольник, мы должны выбрать 2 точки из оставшихся 11, которые не лежат на этой прямой.

C(11, 2) = 11! / (2! * (11 - 2)!) = 11! / (2! * 9!) = (11 * 10) / (2 * 1) = 55.

Теперь у нас есть 55 способов выбрать тройку точек, которые не лежат на одной прямой с изначально выбранными 4 точками.

Общее количество треугольников, которые можно образовать из заданных 15 точек (с условиями, что 4 лежат на одной прямой, а никакие 3 не лежат на одной прямой), будет равно произведению количества способов из шага 1 и шага 2:

455 * 55 = 25025.

Таким образом, существует 25 025 треугольников, вершинами которых являются данные 15 точек.