Question

Помогите пожалуйста решииить |х-1|^(lg^2 (x) -lg(x^2)) = |x-1|^3

Answer 1

|х-1|^(lg^2 (x) -lg(x^2)) = |x-1|^3

основание модуль, значит не отрицательно

основания одинаковые значит сравниваем степени

ОДЗ x>0

lg^2 (x) -lg(x^2) = 3

lg x = t

t^2 - 2t - 3 = 0

D=4 + 12 = 16

x12= (2 +- 4)/2 = -1  3

x1=-1

lg x = -1

x = 1/10

x2 = 3

lg x = 3

x = 10^3 = 1000

Вроде все но забыли, что 0 в любой степени (кроме 0) и 1 в любой степени равны всегда 0 и 1

Проверяем

1. x-1=0

x=1

проверяем lg^ 1 - lg (1^2) = 0 - 0 = 0

получпем 0 в 0 - нет решений

2. |x-1| = 1

x=2

x=0 но ОДЗ x>0 тоже нет

Ответ 1/10, 2 , 1000  

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение и постараемся найти его решения.

Уравнение имеет вид:

|х-1|^(lg^2 (x) - lg(x^2)) = |x-1|^3

Для начала, заметим, что х-1 может быть равно положительному или отрицательному значению, поэтому мы рассмотрим оба случая.

1. Пусть х-1 > 0 (тогда |х-1| = х-1):

Тогда уравнение принимает вид:

(x-1)^(lg^2 (x) - lg(x^2)) = (x-1)^3

Теперь мы можем избавиться от основания логарифма, используя следующее свойство логарифмов: a^b = c тогда и только тогда, когда b * log_a(c) = 1.

Таким образом:

lg^2 (x) - lg(x^2) = 3

Теперь преобразуем логарифмы, используя свойство логарифма lg(a) - lg(b) = lg(a/b):

lg(x^2/x^2) = 3

lg(1) = 3

Таким образом, получаем x = 10.

2. Пусть х-1 < 0 (тогда |х-1| = -(х-1)):

Тогда уравнение принимает вид:

-(х-1)^(lg^2 (x) - lg(x^2)) = -(x-1)^3

Минусы сократятся, и уравнение примет вид:

(х-1)^(lg^2 (x) - lg(x^2)) = (x-1)^3

Мы уже рассмотрели этот случай выше, и решением для него было x = 10.

Таким образом, уравнение имеет одно решение: x = 10. При проверке этого значения, обратите внимание, что основание логарифма не может быть отрицательным, поэтому решение x = 10 является единственным допустимым.