Question

+30 баллов за решение.Вычислить производную функции:f(x)=(√x+1)^5 + 3cos3x

Answer 1

..............................

Answer 2

Для вычисления производной функции f(x) = (√x + 1)^5 + 3cos(3x) используем правила дифференцирования для обоих слагаемых по отдельности.

1. Производная первого слагаемого: Функция u(x) = (√x + 1)^5 является композицией двух функций: u(x) = (g(f(x)))^n, где g(t) = t^5 и f(x) = √x + 1. Тогда, используя правило дифференцирования композиции функций, имеем: u'(x) = n * (g(f(x)))^(n-1) * g'(f(x)) * f'(x)

Теперь найдем производные: g'(t) = 5t^4 f'(x) = d(√x + 1)/dx = (1/2) * x^(-1/2) = 1/(2√x)

Таким образом: u'(x) = 5 * (√x + 1)^4 * (1/(2√x))

2. Производная второго слагаемого: Функция v(x) = 3cos(3x) - это произведение константы и функции cos(3x), поэтому: v'(x) = d(3cos(3x))/dx = -3sin(3x) * d(3x)/dx = -9sin(3x)

Теперь сложим производные слагаемых: f'(x) = u'(x) + v'(x) = 5 * (√x + 1)^4 * (1/(2√x)) - 9sin(3x)

Таким образом, производная функции f(x) равна: f'(x) = 5 * (√x + 1)^4 * (1/(2√x)) - 9sin(3x)